对线性回归的学习与总结_线性回归算法 收获体会

回归分析是指一种预测性的建模技术，主要是研究自变量和因变量的关系。通常使用线/曲线来拟合数据点，然后研究如何使曲线到数据点的距离差异最小。

线性回归：

1. 假设目标值（因变量）与特征值（自变量）之间线性相关。
2. 然后构建损失函数。
3. 最后通过令损失函数最小来确定参数。（最关键的一步）

在回归问题中，均方误差是回归任务中最常用的性能度量。记J(a,b)为f(x)和y之间的差异，即

 这里称J(a,b)为损失函数，明显可以看出它是个二次函数，即凸函数（这里的凸函数对应中文教材的凹函数），所以有最小值。当J(a,b)取最小值的时候，f(x)和y的差异最小，然后我们可以通过J(a,b)取最小值来确定a和b的值。

确定a和b的值的三种方法：

1.最小二乘法：

1. 既然损失函数J(a,b)是凸函数，那么分别关于a和b对J(a,b)求偏导，并令其为零解出a和b。这里直接给出结果：
   
   
   解得：
   

          

2.梯度下降法：

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数（该函数一般是二元及以上的）在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。
当函数是一元函数时，梯度就是导数。

在梯度下降法中，需要我们先给参数a赋一个预设值，然后再一点一点的修改a，直到J(a)取最小值时，确定a的值。下面直接给出梯度下降法的公式（其中α为正数）：

 总结下，不同的步长η ，随着迭代次数的增加，会导致被优化函数f(x) 的值有不同的变化：

f(x) 往上走（红线），自然是η 过大，需要调低。

f(x)一开始下降的特别急，然后就几乎没有变化（棕线），可能η 较大，需要调低。

f(x)几乎线性变化（蓝线），可能是η 较小，需要调大。

3.正规方程：

同样，假设有n组数据，其中目标值（因变量）与特征值（自变量）之间的关系为：

正规方程的公式：

总结：

1.梯度下降法是通用的，包括更为复杂的逻辑回归算法中也可以使用，但是对于较小的数据量来说它的速度并没有优势。        
2.正规方程的速度往往更快，但是当数量级达到一定的时候，还是梯度下降法更快，因为正规方程中需要对矩阵求逆，而求逆的时间复杂的是n的3次方。
3.最小二乘法一般比较少用，虽然它的思想比较简单，在计算过程中需要对损失函数求导并令其为0，从而解出系数θ。但是对于计算机来说很难实现，所以一般不使用最小二乘法。