图解DFS和回溯(字符串的排列c++)_dfs 回溯

算法学习笔记4

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一、DFS和回溯

1.1 DFS

参考【算法入门】深度优先搜索(DFS)。

1.1.1 BFS和DFS比较

先比较下BFS和DFS：
BFS在树的层次较深&子节点数较多的情况下，消耗内存十分严重。BFS适用于节点的子节点数量不多，并且树的层次不会太深的情况，寻找最优解（最短路径）。
DFS难以寻找最优解，仅仅只能寻找有解。其优点就是内存消耗小，克服了BFS的缺点。

1.1.2 DFS搜索过程

DFS举例：寻找V0到V6的一条路（无需最短路径）。
已知解为：V0->V3->V5->V6。

DFS函数的调用堆栈：

此后堆栈调用返回到V0那一层，因为V1那一层也找不到跟V1的相邻未访问节点
此后堆栈调用返回到V3那一层
此后堆栈调用返回到主函数调用DFS(V0,0)的地方，因为已经找到解，无需再从别的节点去搜别的路径了。

这个例子很好的展示了DFS搜索的过程，每进行一次搜索，都要在节点进行判断下一步的可选择方案，美中不足的是并没有体现出“深度”的意义。

1.1.3 DFS中深度作用

这个例子完美解释了“深度”的含义，参考Jack-Huang 。

输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

我们可以模拟出n个盒子和n张卡片，我们需要将n张卡片分别放到n个盒子里，且每个盒子只能放1张卡片，那有多少种方案呢？
下图为模拟放卡片的过程。

整个过程可以描述如下：
参考算法与编程之美

对于需要排列的元素用数组arr储存，temp用于保存结果。
由于选择一个数字后，后面不可再选，如temp第一个格子填1，后面三个格子便不能再填1，所以需要有visit记录哪些元素可以使用，True表示可以使用，Flase表示已经使用过，不能再使用。

visit = [True, True, True, True]
temp = ["" for x in range(0, 4)]
#position表示需要对temp哪个位置进行填充
def dfs(position):
    # 递归出口，temp数组已填满
    if position == len(arr):
        print(temp)
        return
    # 递归主体
for index in range(0, len(arr)):
    #当前元素可以使用，填入temp
        if visit[index] == True:
            temp[position] = arr[index]
            #填入后将其状态改为不可使用
            visit[index] = False
            dfs(position + 1)
            visit[index] = True  # 回溯。非常重要
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完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int arr[101], temp[101], visit[101], n;
void print()
{
	int i;
	for (i = 0; i < n; i++)  cout << temp[i] << ' ';
	cout << endl;
}
inline void dfs(int i)//现在是第i层，也可以看成是第i个盒子，把数据放到这个盒子里 
{
	int j;
	if (i == n)//如果到达了第n层说明已经搜索完成，输出 
	{
		print();//输出方案
		return;//返回上一层（上一个盒子）
	}
	for (j = 0; j < n; j++)//开始放数据 
	{
		if (visit[j] == 0)//这个数可以放（未标记） 
		{
			temp[i] = arr[j];//放这个数 
			visit[j] = 1;//标记被放过了 
			dfs(i + 1);//放第i+1个盒子（层） 
			visit[j] = 0;//返回之前一步，回溯 
		}
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)  arr[i] = i + 1;
	dfs(0);//开始深搜 
	system("pause");
	return 0;
}
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这个例子中，box的数量就是需要搜索的深度，只有当每一个盒子里都有卡片，才可以结束搜索。
每进行一次搜索，都要在节点进行判断：上一个盒子已经放过卡片了，那么就不能再放入新的卡片，需要标记这个盒子的状态为不可用，当所有盒子都被标记为不可用，搜索也就完成了，也和深度（box的数量）对应。
这里DFS和回溯一起作用，下面再来看一下回溯。

1.2 回溯

这部分全部参考 labuladong。

1.2.1 回溯算法的框架

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return

    for 选择 in 选择列表:
        #做选择
        将该选择从选择列表移除
        路径.add(选择)
        backtrack(路径, 选择列表)
        # 撤销选择
        路径.remove(选择)
        将该选择再加入选择列表
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1.2.2 回溯-全排列问题

仍然采用1.1.3中的例子。绘制回溯算法的「决策树」：

在每个节点上其实都在做决策。比如说在下图的红色节点上，就在做决策，可以选择 1 那条树枝，也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢？因为 2 这个树枝在你身后，这个选择你之前做过了，而全排列是不允许重复使用数字的。[2] 就是「路径」，记录已经做过的选择；[1,3] 就是「选择列表」，表示当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层，也可以理解为深度。

那么，全排列其实就是遍历回溯算法决策树的过程，其路径就是全排列。
多叉树遍历框架一般是这样的：

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.childern)
        // 前序遍历需要的操作
        traverse(child);
        // 后序遍历需要的操作
}
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作者labuladong画的这些图太神了，让我对回溯算法恍然大悟。
所谓的前序遍历和后序遍历，他们只是两个很有用的时间点。前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。
「路径」和「选择」是每个节点的属性，函数在树上游走要正确维护节点的属性，那么就要在这两个特殊时间点搞点动作：
完整代码如1.1.3所示，visit数组记录的就是可选的路径，temp记录已经选择路径。
全排列穷举整棵决策树是无法避免的，这也是回溯算法的一个特点，不像动态规划存在重叠子问题可以优化，回溯算法就是纯暴力穷举，复杂度一般都很高。
所以全排列问题不管怎么优化，都符合回溯框架，而且时间复杂度都不可能低于 O(N!)。

1.2.3 回溯-N皇后问题

一个 N×N 的棋盘，让你放置 N 个皇后，使得它们不能互相攻击。

PS：皇后可以攻击同一行、同一列、左上左下右上右下四个方向的任意单位。
套用框架的完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <iomanip>
using namespace std;

vector<vector<string>> res;//放置解的结果
int n;

/* 是否可以在 board[row][col] 放置皇后？ 
   因为同一行只放置一个Q，且行数依次增加，左下方和右下方还未放置数据
   所以只需考虑列、左上方和右上方
*/
bool isValid(vector<string>& board, int row, int col) {
	int n = board.size();
	// 检查列是否有皇后互相冲突
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (board[i][col] == 'Q')
			return false;
	}
	// 检查右上方是否有皇后互相冲突
	for (int i = row - 1, j = col + 1;
		i >= 0 && j < n; i--, j++) {
		if (board[i][j] == 'Q')
			return false;
	}
	// 检查左上方是否有皇后互相冲突
	for (int i = row - 1, j = col - 1;
		i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
		if (board[i][j] == 'Q')
			return false;
	}
	return true;
}

// 路径：board 中小于 row 的那些行都已经成功放置了皇后
// 选择列表：第 row 行的所有列都是放置皇后的选择
// 结束条件：row 超过 board 的最后一行
void backtrack(vector<string>& board, int row) {
	// 触发结束条件
	if (row == board.size()) {
		res.push_back(board);
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				cout << setw(2) << board[i][j];
			}
			cout << endl;
		}
		cout << endl;
		return;
	}

	int n = board[row].size();
	for (int col = 0; col < n; col++) {
		// 排除不合法选择
		if (!isValid(board, row, col))
			continue;
		// 做选择
		board[row][col] = 'Q';
		// 进入下一行决策
		backtrack(board, row + 1);
		// 撤销选择
		board[row][col] = '*';
	}
}


/* 输入棋盘边长 n，返回所有合法的放置 */
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
	// '.' 表示空，'Q' 表示皇后，初始化空棋盘。
	vector<string> board(n, string(n, '.'));//相当于构造了n×n的棋盘
	backtrack(board, 0);
	cout << res.size() << endl;//8皇后问题共有92个解
	return res;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	solveNQueens(n);//开始深搜 
	system("pause");
	return 0;
}
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运行结果如下(8皇后问题)：
上述代码没有考虑棋盘的“对称关系”，“旋转关系”或者“转置关系”，有待后续进一步研究。

二、字符串的排列

2.1 题目描述

字符串中有可能有重复的字符。

2.2 思考

全排列问题，考虑DFS和回溯算法。
对DFS和回溯算法进行空间上的优化，不再开辟新的空间储存字符串，将字符串原地交换，因为需要遍历整个回溯算法决策树，所以时间复杂度不变。
时间复杂度：O(n!)
空间复杂度：O(1),原地交换
图片来自牛客网评论区，DFS深度为字符串长度，回溯前序遍历需要的操作和后后序遍历需要的操作均为swap。
不同的是字符串中可能有重复的数字，需要对决策树进行剪枝操作。

下图来自 hellosc01：

此处使用c++的set容器去重，同时达到按字母顺序排序。

2.3 代码实现

代码如下：

class Solution {
public:
    vector<string> Permutation(string str) {
        len = str.size();
        if(len == 0) return{};
        backtrack(str,0);
        return vector<string>({ret.begin(), ret.end()});
    }
    
    void backtrack(string str,int box){
        if(box == len-1) ret.insert(str);
        else{
            for(int i = box; i < len; i++){
                swap(str[i],str[box]);
                backtrack(str,box+1);
                swap(str[i],str[box]);
            }
        }
    }
private:
    int len;
    set<string> ret;
};
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终于通过啦！

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