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代码随想录算法训练营第三十二天：回溯的最终章

作者：IT小白 | 2024-07-16 21:52:53

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代码随想录算法训练营第三十二天：回溯的最终章

代码随想录算法训练营第三十二天：回溯的最终章

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 uset.end()) {
continue;
}
uset.insert(nums[i]); // set记录元素
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1, used);
path.pop_back();
}
}

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uset已经是全局变量，本层的uset记录了一个元素，然后进入下一层之后这个uset（和上一层是同一个uset）就被清空了，也就是说，层与层之间的uset是同一个，那么就会相互影响。

所以这么写依然不行！

组合问题和排列问题，其实也可以使用set来对同一节点下本层去重，下面我都分别给出实现代码。

#40. 组合总和 II

使用used数组去重版本：回溯算法：求组合总和（三）(opens new window)

使用set去重的版本如下：

class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
unordered_set<int> uset; // 控制某一节点下的同一层元素不能重复
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
if (uset.find(candidates[i]) != uset.end()) {
continue;
}
uset.insert(candidates[i]); // 记录元素
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}

public:
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
path.clear();
result.clear();
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};

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#47. 全排列 II

使用used数组去重版本：回溯算法：排列问题（二）(opens new window)

使用set去重的版本如下：

class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path);
return;
}
unordered_set<int> uset; // 控制某一节点下的同一层元素不能重复
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
continue;
}
if (used[i] == false) {
uset.insert(nums[i]); // 记录元素
used[i] = true;
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, used);
path.pop_back();
used[i] = false;
}
}
}
public:
vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
result.clear();
path.clear();
sort(nums.begin(), nums.end()); // 排序
vector<bool> used(nums.size(), false);
backtracking(nums, used);
return result;
}
};

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#两种写法的性能分析

需要注意的是：使用set去重的版本相对于used数组的版本效率都要低很多，大家在leetcode上提交，能明显发现。

原因在回溯算法：递增子序列 ​**(opens new window)** 中也分析过，主要是因为程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费时的。

而使用used数组在时间复杂度上几乎没有额外负担！

使用set去重，不仅时间复杂度高了，空间复杂度也高了，在本周小结！（回溯算法系列三） ​**(opens new window)** 中分析过，组合，子集，排列问题的空间复杂度都是O(n)，但如果使用set去重，空间复杂度就变成了O(n^2)，因为每一层递归都有一个set集合，系统栈空间是n，每一个空间都有set集合。

那有同学可能疑惑 用used数组也是占用O(n)的空间啊？

used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所以空间复杂度是O(n + n)，最终空间复杂度还是O(n)。

#总结

本篇本打算是对本周小结！（回溯算法系列三） ​**(opens new window)** 的一个点做一下纠正，没想到又写出来这么多！

这个点都源于一位录友的疑问，然后我思考总结了一下，就写着这一篇，所以还是得多交流啊！

如果大家对「代码随想录」文章有什么疑问，尽管打卡留言的时候提出来哈，或者在交流群里提问。

其实这就是相互学习的过程，交流一波之后都对题目理解的更深刻了，我如果发现文中有问题，都会在评论区或者下一篇文章中即时修正，保证不会给大家带跑偏！

这也可以用回溯法？ 其实深搜和回溯也是相辅相成的，毕竟都用递归。

#332.重新安排行程

力扣题目链接(opens new window)

给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。

提示：

  • 如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 [“JFK”, “LGA”] 与 [“JFK”, “LGB”] 相比就更小，排序更靠前
  • 所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
  • 假定所有机票至少存在一种合理的行程。
  • 所有的机票必须都用一次 且 只能用一次。

示例 1：

  • 输入：[[“MUC”, “LHR”], [“JFK”, “MUC”], [“SFO”, “SJC”], [“LHR”, “SFO”]]
  • 输出：[“JFK”, “MUC”, “LHR”, “SFO”, “SJC”]

示例 2：

  • 输入：[[“JFK”,“SFO”],[“JFK”,“ATL”],[“SFO”,“ATL”],[“ATL”,“JFK”],[“ATL”,“SFO”]]
  • 输出：[“JFK”,“ATL”,“JFK”,“SFO”,“ATL”,“SFO”]
  • 解释：另一种有效的行程是 [“JFK”,“SFO”,“ATL”,“JFK”,“ATL”,“SFO”]。但是它自然排序更大更靠后。

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课 ****(opens new window)****​ ：​带你学透回溯算法（理论篇） ****(opens new window)****​ ，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

这道题目还是很难的，之前我们用回溯法解决了如下问题：组合问题 ​**(opens new window)** ，分割问题 ​**(opens new window)** ，子集问题 ​**(opens new window)** ，排列问题 ​**(opens new window)** 。

直觉上来看 这道题和回溯法没有什么关系，更像是图论中的深度优先搜索。

实际上确实是深搜，但这是深搜中使用了回溯的例子，在查找路径的时候，如果不回溯，怎么能查到目标路径呢。

所以我倾向于说本题应该使用回溯法，那么我也用回溯法的思路来讲解本题，其实深搜一般都使用了回溯法的思路，在图论系列中我会再详细讲解深搜。

这里就是先给大家拓展一下，原来回溯法还可以这么玩！

这道题目有几个难点：

  1. 一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环
  2. 有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢 ？
  3. 使用回溯法（也可以说深搜） 的话，那么终止条件是什么呢？
  4. 搜索的过程中，如何遍历一个机场所对应的所有机场。

针对以上问题我来逐一解答！

#如何理解死循环

对于死循环，我来举一个有重复机场的例子：

​332.重新安排行程​

为什么要举这个例子呢，就是告诉大家，出发机场和到达机场也会重复的，如果在解题的过程中没有对集合元素处理好，就会死循环。

#该记录映射关系

有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢 ？

一个机场映射多个机场，机场之间要靠字母序排列，一个机场映射多个机场，可以使用std::unordered_map，如果让多个机场之间再有顺序的话，就是用std::map 或者std::multimap 或者 std::multiset。

如果对map 和 set 的实现机制不太了解，也不清楚为什么 map、multimap就是有序的同学，可以看这篇文章关于哈希表，你该了解这些！ ​**(opens new window)** 。

这样存放映射关系可以定义为 unordered_map<string, multiset<string>> targets​ 或者 unordered_map<string, map<string, int>> targets​。

含义如下：

unordered_map<string, multiset> targets：unordered_map<出发机场, 到达机场的集合> targets

unordered_map<string, map<string, int>> targets：unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets

这两个结构，我选择了后者，因为如果使用unordered_map<string, multiset<string>> targets​ 遍历multiset的时候，不能删除元素，一旦删除元素，迭代器就失效了。

再说一下为什么一定要增删元素呢，正如开篇我给出的图中所示，出发机场和到达机场是会重复的，搜索的过程没及时删除目的机场就会死循环。

所以搜索的过程中就是要不断的删multiset里的元素，那么推荐使用unordered_map<string, map<string, int>> targets​。

在遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets​的过程中，可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了。

如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作。

相当于说我不删，我就做一个标记！

#回溯法

这道题目我使用回溯法，那么下面按照我总结的回溯模板来：

void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}

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本题以输入：[[“JFK”, “KUL”], [“JFK”, “NRT”], [“NRT”, “JFK”]为例，抽象为树形结构如下：

​332.重新安排行程1​

开始回溯三部曲讲解：

  • 递归函数参数

在讲解映射关系的时候，已经讲过了，使用unordered_map<string, map<string, int>> targets;​ 来记录航班的映射关系，我定义为全局变量。

当然把参数放进函数里传进去也是可以的，我是尽量控制函数里参数的长度。

参数里还需要ticketNum，表示有多少个航班（终止条件会用上）。

代码如下：

// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map<string, map<string, int>> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector<string>& result) {

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注意函数返回值我用的是bool！

我们之前讲解回溯算法的时候，一般函数返回值都是void，这次为什么是bool呢？

因为我们只需要找到一个行程，就是在树形结构中唯一的一条通向叶子节点的路线，如图：

​332.重新安排行程1​

所以找到了这个叶子节点了直接返回，这个递归函数的返回值问题我们在讲解二叉树的系列的时候，在这篇二叉树：递归函数究竟什么时候需要返回值，什么时候不要返回值？ ​**(opens new window)** 详细介绍过。

当然本题的targets和result都需要初始化，代码如下：

for (const vector<string>& vec : tickets) {
targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系
}
result.push_back("JFK"); // 起始机场

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  • 递归终止条件

拿题目中的示例为例，输入: [[“MUC”, “LHR”], [“JFK”, “MUC”], [“SFO”, “SJC”], [“LHR”, “SFO”]] ，这是有4个航班，那么只要找出一种行程，行程里的机场个数是5就可以了。

所以终止条件是：我们回溯遍历的过程中，遇到的机场个数，如果达到了（航班数量+1），那么我们就找到了一个行程，把所有航班串在一起了。

代码如下：

if (result.size() == ticketNum + 1) {
return true;
}

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已经看习惯回溯法代码的同学，到叶子节点了习惯性的想要收集结果，但发现并不需要，本题的result相当于 回溯算法：求组合总和！ ​**(opens new window)** 中的path，也就是本题的result就是记录路径的（就一条），在如下单层搜索的逻辑中result就添加元素了。

  • 单层搜索的逻辑

回溯的过程中，如何遍历一个机场所对应的所有机场呢？

这里刚刚说过，在选择映射函数的时候，不能选择unordered_map<string, multiset<string>> targets​， 因为一旦有元素增删multiset的迭代器就会失效，当然可能有牛逼的容器删除元素迭代器不会失效，这里就不在讨论了。

可以说本题既要找到一个对数据进行排序的容器，而且还要容易增删元素，迭代器还不能失效。

所以我选择了unordered_map<string, map<string, int>> targets​ 来做机场之间的映射。

遍历过程如下：

for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]]) {
if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了
result.push_back(target.first);
target.second--;
if (backtracking(ticketNum, result)) return true;
result.pop_back();
target.second++;
}
}

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可以看出 通过unordered_map<string, map<string, int>> targets​里的int字段来判断 这个集合里的机场是否使用过，这样避免了直接去删元素。

分析完毕，此时完整C++代码如下：

class Solution {
private:
// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map<string, map<string, int>> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector<string>& result) {
if (result.size() == ticketNum + 1) {
return true;
}
for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]]) {
if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了
result.push_back(target.first);
target.second--;
if (backtracking(ticketNum, result)) return true;
result.pop_back();
target.second++;
}
}
return false;
}
public:
vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {
targets.clear();
vector<string> result;
for (const vector<string>& vec : tickets) {
targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系
}
result.push_back("JFK"); // 起始机场
backtracking(tickets.size(), result);
return result;
}
};

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一波分析之后，可以看出我就是按照回溯算法的模板来的。

代码中

for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]])

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一定要加上引用即 & target​，因为后面有对 target.second 做减减操作，如果没有引用，单纯复制，这个结果就没记录下来，那最后的结果就不对了。

加上引用之后，就必须在 string 前面加上 const，因为map中的key 是不可修改了，这就是语法规定了。

#总结

本题其实可以算是一道hard的题目了，关于本题的难点我在文中已经列出了。

如果单纯的回溯搜索（深搜）并不难，难还难在容器的选择和使用上。

本题其实是一道深度优先搜索的题目，但是我完全使用回溯法的思路来讲解这道题题目，算是给大家拓展一下思维方式，其实深搜和回溯也是分不开的，毕竟最终都是用递归。

如果最终代码，发现照着回溯法模板画的话好像也能画出来，但难就难如何知道可以使用回溯，以及如果套进去，所以我再写了这么长的一篇来详细讲解。

就酱，很多录友表示和「代码随想录」相见恨晚，那么帮Carl宣传一波吧，让更多同学知道这里！

51. N皇后

力扣题目链接(opens new window)

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

​​

  • 输入：n = 4
  • 输出：[[“.Q…”,“…Q”,“Q…”,“…Q.”],[“…Q.”,“Q…”,“…Q”,“.Q…”]]
  • 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

  • 输入：n = 1
  • 输出：[[“Q”]]

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课 ****(opens new window)****​ ：​这就是传说中的N皇后？ 回溯算法安排！| LeetCode：51.N皇后 ****(opens new window)****​ ，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二维矩阵还会有点不知所措。

首先来看一下皇后们的约束条件：

  1. 不能同行
  2. 不能同列
  3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面我用一个 3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：

​51.N皇后​

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

#回溯三部曲

按照我总结的如下回溯模板，我们来依次分析：

void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}

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  • 递归函数参数

我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。

参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。

代码如下：

vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {

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  • 递归终止条件

在如下树形结构中： 51.N皇后​

可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。

代码如下：

if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}

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  • 单层搜索的逻辑

递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。

每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

代码如下：

for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}

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  • 验证棋盘是否合法

按照如下标准去重：

  1. 不能同行
  2. 不能同列
  3. 不能同斜线 （45度和135度角）

代码如下：

bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

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在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？

因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。

那么按照这个模板不难写出如下C++代码：

class Solution {
private:
vector<vector<string>> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}
}
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
// 检查列
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 45度角是否有皇后
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 135度角是否有皇后
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
result.clear();
std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
};

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  • 空间复杂度: O(n)

可以看出，除了验证棋盘合法性的代码，省下来部分就是按照回溯法模板来的。

#总结

本题是我们解决棋盘问题的第一道题目。

如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。

这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。

大家可以在仔细体会体会！

37. 解数独

力扣题目链接(opens new window)

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

一个数独的解法需遵循如下规则： 数字 1-9 在每一行只能出现一次。 数字 1-9 在每一列只能出现一次。 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。 空白格用 ‘.’ 表示。

​解数独​

一个数独。

​解数独​

答案被标成红色。

提示：

  • 给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 ‘.’ 。
  • 你可以假设给定的数独只有唯一解。
  • 给定数独永远是 9x9 形式的。

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课 ****(opens new window)****​ ：​回溯算法二维递归？解数独不过如此！| LeetCode：37. 解数独 ****(opens new window)****​ ，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

棋盘搜索问题可以使用回溯法暴力搜索，只不过这次我们要做的是二维递归。

怎么做二维递归呢？

大家已经跟着「代码随想录」刷过了如下回溯法题目，例如：77.组合（组合问题） ​**(opens new window)** ，131.分割回文串（分割问题） ​**(opens new window)** ，78.子集（子集问题） ​**(opens new window)** ，46.全排列（排列问题） ​**(opens new window)** ，以及51.N皇后（N皇后问题） ​**(opens new window)** ，其实这些题目都是一维递归。

如果以上这几道题目没有做过的话，不建议上来就做这道题哈！

N皇后问题 ​**(opens new window)** 是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。

本题就不一样了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：

​37.解数独​

#回溯三部曲

  • 递归函数以及参数

递归函数的返回值需要是bool类型，为什么呢？

因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。

代码如下：

bool backtracking(vector<vector<char>>& board)

  • 1
  • 递归终止条件

本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。

不用终止条件会不会死循环？

递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！

那么有没有永远填不满的情况呢？

这个问题我在递归单层搜索逻辑里再来讲！

  • 递归单层搜索逻辑

​37.解数独​

在树形图中可以看出我们需要的是一个二维的递归 （一行一列）

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

代码如下：（详细看注释）

bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {
for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行
for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列
if (board[i][j] != '.') continue;
for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适
if (isValid(i, j, k, board)) {
board[i][j] = k;                // 放置k
if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回
board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k
}
}
return false;                           // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
}
}
return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}

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注意这里return false的地方，这里放return false 是有讲究的。

因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！

那么会直接返回， 这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！

#判断棋盘是否合法

判断棋盘是否合法有如下三个维度：

  • 同行是否重复
  • 同列是否重复
  • 9宫格里是否重复

代码如下：

bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {
for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复
if (board[row][i] == val) {
return false;
}
}
for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复
if (board[j][col] == val) {
return false;
}
}
int startRow = (row / 3) * 3;
int startCol = (col / 3) * 3;
for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复
for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
if (board[i][j] == val ) {
return false;
}
}
}
return true;
}

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最后整体C++代码如下：

class Solution {
private:
bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {
for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行
for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列
if (board[i][j] == '.') {
for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适
if (isValid(i, j, k, board)) {
board[i][j] = k;                // 放置k
if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回
board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k
}
}
return false;  // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
}
}
}
return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {
for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复
if (board[row][i] == val) {
return false;
}
}
for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复
if (board[j][col] == val) {
return false;
}
}
int startRow = (row / 3) * 3;
int startCol = (col / 3) * 3;
for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复
for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
if (board[i][j] == val ) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public:
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
backtracking(board);
}
};


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#总结

解数独可以说是非常难的题目了，如果还一直停留在单层递归的逻辑中，这道题目可以让大家瞬间崩溃。

所以我在开篇就提到了二维递归，这也是我自创词汇，希望可以帮助大家理解解数独的搜索过程。

一波分析之后，再看代码会发现其实也不难，唯一难点就是理解二维递归的思维逻辑。

这样，解数独这么难的问题，也被我们攻克了。

恭喜一路上坚持打卡的录友们，回溯算法已经接近尾声了，接下来就是要一波总结了。

回溯总结篇

#回溯法理论基础

转眼间「代码随想录」 ​**(opens new window)** 里已经分享连续讲解了21天的回溯算法，是时候做一个大总结了，本篇高能，需要花费很大的精力来看！

关于回溯算法理论基础，我录了一期B站视频带你学透回溯算法（理论篇） ​**(opens new window)** 如果对回溯算法还不了解的话，可以看一下。

在关于回溯算法，你该了解这些！ ​**(opens new window)** 中我们详细的介绍了回溯算法的理论知识，不同于教科书般的讲解，这里介绍的回溯法的效率，解决的问题以及模板都是在刷题的过程中非常实用！

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。

回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

回溯算法能解决如下问题：

  • 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  • 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
  • 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
  • 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
  • 棋盘问题：N皇后，解数独等等

我在回溯算法系列讲解中就按照这个顺序给大家讲解，可以说深入浅出，步步到位。

回溯法确实不好理解，所以需要把回溯法抽象为一个图形来理解就容易多了，在后面的每一道回溯法的题目我都将遍历过程抽象为树形结构方便大家的理解。

在关于回溯算法，你该了解这些！ ​**(opens new window)** 还用了回溯三部曲来分析回溯算法，并给出了回溯法的模板：

void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}

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事实证明这个模板会伴随整个回溯法系列！

#组合问题

#组合问题

在回溯算法：求组合问题！ ​**(opens new window)** 中，我们开始用回溯法解决第一道题目：组合问题。

我在文中开始的时候给大家列举k层for循环例子，进而得出都是同样是暴力解法，为什么要用回溯法！

此时大家应该深有体会回溯法的魅力，用递归控制for循环嵌套的数量！

本题我把回溯问题抽象为树形结构，如题：

​77.组合1​

可以直观的看出其搜索的过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集，这个理念贯穿整个回溯法系列，也是我做了很多回溯的题目，不断摸索其规律才总结出来的。

对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。

所以，录友们刚开始学回溯法，起跑姿势就很标准了！

优化回溯算法只有剪枝一种方法，在回溯算法：组合问题再剪剪枝 ​**(opens new window)** 中把回溯法代码做了剪枝优化，树形结构如图：

​77.组合4​

大家可以一目了然剪的究竟是哪里。

回溯算法：求组合问题！ ****(opens new window)****​剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

在for循环上做剪枝操作是回溯法剪枝的常见套路！ 后面的题目还会经常用到。

#组合总和

#组合总和（一）

在回溯算法：求组合总和！ ​**(opens new window)** 中，相当于 回溯算法：求组合问题！ ​**(opens new window)** 加了一个元素总和的限制。

树形结构如图： 216.组合总和III​

整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉，如图：

​216.组合总和III1​

在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是回溯算法：组合问题再剪剪枝 ​**(opens new window)** 中提到的，对for循环选择的起始范围的剪枝。

所以剪枝的代码可以在for循环加上 i <= 9 - (k - path.size()) + 1​ 的限制！

#组合总和（二）

在回溯算法：求组合总和（二） ​**(opens new window)** 中讲解的组合总和问题，和回溯算法：求组合问题！ ​**(opens new window)** ，回溯算法：求组合总和！ ​**(opens new window)** 和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。

不少同学都是看到可以重复选择，就义无反顾的把startIndex去掉了。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：回溯算法：求组合问题！ ​**(opens new window)** ，回溯算法：求组合总和！ ​**(opens new window)** 。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：回溯算法：电话号码的字母组合(opens new window)

注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路。

树形结构如下： 39.组合总和​

最后还给出了本题的剪枝优化，如下：

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)

  • 1

优化后树形结构如下：

​39.组合总和1​

#组合总和（三）

在回溯算法：求组合总和（三） ​**(opens new window)** 中集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合。

所以难就难在去重问题上了。

这个去重问题，相信做过的录友都知道有多么的晦涩难懂。网上的题解一般就说“去掉重复”，但说不清怎么个去重，代码一甩就完事了。

为了讲解这个去重问题，Carl自创了两个词汇，“树枝去重”和“树层去重” 。

都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上“使用过”，一个维度是同一树层上“使用过”。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

​40.组合总和II1​

我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

  • used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
  • used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

这块去重的逻辑很抽象，网上搜的题解基本没有能讲清楚的，如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目，看到这里一定会感觉通透了很多！

对于去重，其实排列和子集问题也是一样的道理。

#多个集合求组合

在回溯算法：电话号码的字母组合 ​**(opens new window)** 中，开始用多个集合来求组合，还是熟悉的模板题目，但是有一些细节。

例如这里for循环，可不像是在 回溯算法：求组合问题！ ​**(opens new window)** 和回溯算法：求组合总和！ ​**(opens new window)** 中从startIndex开始遍历的。

因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而​**回溯算法：求组合问题！** ****(opens new window)​和​回溯算法：求组合总和！ ****(opens new window)****​都是是求同一个集合中的组合！

树形结构如下：

​17. 电话号码的字母组合​

如果大家在现场面试的时候，一定要注意各种输入异常的情况，例如本题输入1 * #按键。

其实本题不算难，但也处处是细节，还是要反复琢磨。

#切割问题

在回溯算法：分割回文串 ​**(opens new window)** 中，我们开始讲解切割问题，虽然最后代码看起来好像是一道模板题，但是从分析到学会套用这个模板，是比较难的。

我列出如下几个难点：

  • 切割问题其实类似组合问题
  • 如何模拟那些切割线
  • 切割问题中递归如何终止
  • 在递归循环中如何截取子串
  • 如何判断回文

如果想到了用求解组合问题的思路来解决 切割问题本题就成功一大半了，接下来就可以对着模板照葫芦画瓢。

但后序如何模拟切割线，如何终止，如何截取子串，其实都不好想，最后判断回文算是最简单的了。

所以本题应该是一个道hard题目了。

除了这些难点，本题还有细节，例如：切割过的地方不能重复切割所以递归函数需要传入i + 1。

树形结构如下：

​131.分割回文串​

#子集问题

#子集问题（一）

在回溯算法：求子集问题！ ​**(opens new window)** 中讲解了子集问题，在树形结构中子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。

如图：

​78.子集​

认清这个本质之后，今天的题目就是一道模板题了。

本题其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了，本来我们就要遍历整棵树。

有的同学可能担心不写终止条件会不会无限递归？

并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。

如果要写终止条件，注意：result.push_back(path);​要放在终止条件的上面，如下：

result.push_back(path); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉结果
if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
return;
}

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#子集问题（二）

在回溯算法：求子集问题（二） ​**(opens new window)** 中，开始针对子集问题进行去重。

本题就是回溯算法：求子集问题！ ​**(opens new window)** 的基础上加上了去重，去重我们在回溯算法：求组合总和（三） ​**(opens new window)** 也讲过了，一样的套路。

树形结构如下：

​90.子集II​

#递增子序列

在回溯算法：递增子序列 ​**(opens new window)** 中，处处都能看到子集的身影，但处处是陷阱，值得好好琢磨琢磨！

树形结构如下： 491. 递增子序列1​

很多同学都会把这道题目和回溯算法：求子集问题（二） ​**(opens new window)** 混在一起。

回溯算法：求子集问题（二） ****(opens new window)****​也可以使用set针对同一父节点本层去重，但子集问题一定要排序，为什么呢？

我用没有排序的集合{2,1,2,2}来举个例子画一个图，如下：

​90.子集II2​

相信这个图胜过千言万语的解释了。

#排列问题

#排列问题（一）

回溯算法：排列问题！ ​**(opens new window)** 又不一样了。

排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。

可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。

如图：

​46.全排列​

大家此时可以感受出排列问题的不同：

  • 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
  • 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

#排列问题（二）

排列问题也要去重了，在回溯算法：排列问题（二） ​**(opens new window)** 中又一次强调了“树层去重”和“树枝去重”。

树形结构如下：

​47.全排列II1​

这道题目神奇的地方就是used[i - 1] == false也可以，used[i - 1] == true也可以！

我就用输入: [1,1,1] 来举一个例子。

树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：

​47.全排列II2.png​

树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：

​47.全排列II3​

可以清晰的看到使用(used[i - 1] == false)，即树层去重，效率更高！

本题used数组即是记录path里都放了哪些元素，同时也用来去重，一举两得。

#去重问题

以上我都是统一使用used数组来去重的，其实使用set也可以用来去重！

在本周小结！（回溯算法系列三）续集 ​**(opens new window)** 中给出了子集、组合、排列问题使用set来去重的解法以及具体代码，并纠正一些同学的常见错误写法。

同时详细分析了 使用used数组去重 和 使用set去重 两种写法的性能差异：

使用set去重的版本相对于used数组的版本效率都要低很多，大家在leetcode上提交，能明显发现。

原因在回溯算法：递增子序列 ​**(opens new window)** 中也分析过，主要是因为程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费时的。

而使用used数组在时间复杂度上几乎没有额外负担！

使用set去重，不仅时间复杂度高了，空间复杂度也高了，在本周小结！（回溯算法系列三） ​**(opens new window)** 中分析过，组合，子集，排列问题的空间复杂度都是O(n)，但如果使用set去重，空间复杂度就变成了O(n^2)，因为每一层递归都有一个set集合，系统栈空间是n，每一个空间都有set集合。

那有同学可能疑惑 用used数组也是占用O(n)的空间啊？

used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所以空间复杂度是O(n + n)，最终空间复杂度还是O(n)。

#重新安排行程（图论额外拓展）

之前说过，有递归的地方就有回溯，深度优先搜索也是用递归来实现的，所以往往伴随着回溯。

在回溯算法：重新安排行程 ​**(opens new window)** 其实也算是图论里深搜的题目，但是我用回溯法的套路来讲解这道题目，算是给大家拓展一下思路，原来回溯法还可以这么玩！

以输入：[[“JFK”, “KUL”], [“JFK”, “NRT”], [“NRT”, “JFK”]为例，抽象为树形结构如下：

​​

本题可以算是一道hard的题目了，关于本题的难点我在文中已经详细列出。

如果单纯的回溯搜索（深搜）并不难，难还难在容器的选择和使用上！

本题其实是一道深度优先搜索的题目，但是我完全使用回溯法的思路来讲解这道题题目，算是给大家拓展一下思维方式，其实深搜和回溯也是分不开的，毕竟最终都是用递归。

#棋盘问题

#N皇后问题

在回溯算法：N皇后问题 ​**(opens new window)** 中终于迎来了传说中的N皇后。

下面我用一个3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：

​51.N皇后​

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。

这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。

相信看完本篇回溯算法：N皇后问题 ​**(opens new window)** 也没那么难了，传说已经不是传说了。

#解数独问题

在回溯算法：解数独 ​**(opens new window)** 中要征服回溯法的最后一道山峰。

解数独应该是棋盘很难的题目了，比N皇后还要复杂一些，但只要理解 “二维递归”这个过程，其实发现就没那么难了。

大家已经跟着「代码随想录」刷过了如下回溯法题目，例如：77.组合（组合问题） ​**(opens new window)** ，131.分割回文串（分割问题） ​**(opens new window)** ，78.子集（子集问题） ​**(opens new window)** ，46.全排列（排列问题） ​**(opens new window)** ，以及51.N皇后（N皇后问题） ​**(opens new window)** ，其实这些题目都是一维递归。

其中N皇后问题 ​**(opens new window)** 是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。

本题就不一样了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字，并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：

​37.解数独​

解数独可以说是非常难的题目了，如果还一直停留在一维递归的逻辑中，这道题目可以让大家瞬间崩溃。

所以我在​**回溯算法：解数独** ****(opens new window)****​中开篇就提到了二维递归，这也是我自创词汇，希望可以帮助大家理解解数独的搜索过程。

一波分析之后，在看代码会发现其实也不难，唯一难点就是理解二维递归的思维逻辑。

这样，解数独这么难的问题也被我们攻克了。

#性能分析

关于回溯算法的复杂度分析在网上的资料鱼龙混杂，一些所谓的经典面试书籍不讲回溯算法，算法书籍对这块也避而不谈，感觉就像是算法里模糊的边界。

所以这块就说一说我个人理解，对内容持开放态度，集思广益，欢迎大家来讨论！

以下在计算空间复杂度的时候我都把系统栈（不是数据结构里的栈）所占空间算进去。

子集问题分析：

  • 时间复杂度：O(2n)，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2n)
  • 空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)

排列问题分析：

  • 时间复杂度：O(n!)，这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * … 1 = n!。
  • 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。

组合问题分析：

  • 时间复杂度：O(2^n)，组合问题其实就是一种子集的问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。
  • 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。

N皇后问题分析：

  • 时间复杂度：O(n!) ，其实如果看树形图的话，直觉上是O(n^n)，但皇后之间不能见面所以在搜索的过程中是有剪枝的，最差也就是O（n!），n!表示n * (n-1) * … * 1。
  • 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。

解数独问题分析：

  • 时间复杂度：O(9^m) , m是’.'的数目。
  • 空间复杂度：O(n2)，递归的深度是n2

一般说道回溯算法的复杂度，都说是指数级别的时间复杂度，这也算是一个概括吧！

#总结

「代码随想录」 ****(opens new window)****​历时21天，14道经典题目分析，20张树形图，21篇回溯法精讲文章，从组合到切割，从子集到排列，从棋盘问题到最后的复杂度分析，至此收尾了。

这里的每一种问题，讲解的时候我都会和其他问题作对比，做分析，确保每一个问题都讲的通透。

可以说方方面面都详细介绍到了。

例如：

  • 如何理解回溯法的搜索过程？
  • 什么时候用startIndex，什么时候不用？
  • 如何去重？如何理解“树枝去重”与“树层去重”？
  • 去重的几种方法？
  • 如何理解二维递归？

这里的每一个问题，网上几乎找不到能讲清楚的文章，这也是直击回溯算法本质的问题。

相信一路坚持下来的录友们，对回溯算法已经都深刻的认识。

此时回溯算法系列就要正式告一段落了。

录友们可以回顾一下这21天，每天的打卡，每天在交流群里和大家探讨代码，最终换来的都是不知不觉的成长。

同样也感谢录友们的坚持，这也是我持续写作的动力，正是因为大家的积极参与，我才知道这件事件是非常有意义的。

回溯专题汇聚为一张图：

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这个图是 代码随想录知识星球 ​**(opens new window)** 成员：莫非毛 ​**(opens new window)** ，所画，总结的非常好，分享给大家。

回溯算法系列正式结束，新的系列终将开始，录友们准备开启新的征程！

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