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【线性代数】为什么 AA* = |A|E_已知aa*=e,a的行列式等于1,证明a-e的行列式=0

作者：IT小白 | 2024-07-22 06:25:25

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已知aa*=e,a的行列式等于1,证明a-e的行列式=0

在这里插入图片描述
$AA^*矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义$

在这里插入图片描述
$矩阵提取一个因子 ∣ A ∣ ，所有元素需要除 ∣ A ∣$
$那么为什么其他位置的元素是 0$
$即行列式第 i 行元素和第 j 行的代数余子式乘积为 0 ？$
$以三阶行列式为例$

$用第二行的元素乘第一行的代数余子式$
在这里插入图片描述

$这相当于是将 A 的第一行替换成了第二行的元素，并按第 1 行展开$

$行列式有 2 行元素相同，行列式不满秩、值为 0$
$同理有第\quad i \quad行的元素乘第\quad j \quad行的代数余子式$

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