【Python计量】Logit模型

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一、离散选择模型

莎士比亚曾经说过：To be, or not to be, that is the question，这就是典型的离散选择模型。如果被解释变量时离散的，而非连续的，称为“离散选择模型”。例如，消费者在购买汽车的时候通常会比较几个不同的品牌，如福特、本田、大众等。如果将消费者选择福特汽车记为Y=1，选择本田汽车记为Y=2，选择大众汽车记为Y=3；那么在研究消费者选择何种汽车品牌的时候，由于因变量不是一个连续的变量（Y=1, 2, 3），传统的线性回归模型就有一定的局限。

其它的一些常见的离散选择行为的案例还包括：

• 化妆品牌的选择：雅诗兰黛、兰蔻、欧莱雅…
• 就餐地点的选择：餐厅甲、餐厅乙、餐厅丙…
• 旅游风格的选择：自由游、跟团游、自助游…
• 居住地点的选择：小区A、小区B、小区C…
• 出行方式的选择：公交、地铁、打车、合乘、自驾、自行车…

二、Logit模型

在统计学里，概率（Probability）和Odds都是用来描述某件事情发生的可能性的。Odds指的是 事件发生的概率与 事件不发生的概率 之比，可以将Odds称为几率或胜率。
$$Odds=\frac{P}{1-P}$$
事件A的Odds 等于 事件A出现的次数 和 其它（非A）事件出现的次数 之比；相比之下，事件A的概率 等于 事件A出现的次数 与 所有事件的次数 之比。

Odds的对数称之为Logit。
$$Logit=log(Odds)$$
从概率P到Odds再到Logit，这就是一个Logit变换。 Logit 模型可以理解成 Log-it（即it 的自然对数——这里的it指的就是Odds，Logit即the log of an odd）。概率P的取值范围是[0,1]，而Logit的取值范围是$(-\infty ,+\infty )$。

概率作为因变量，不能直接套用线性回归模型：
$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k+u$$
因为线性回归模型的因变量y的范围是$(-\infty ,+\infty )$，但概率的范围是[0,1]。

由于 Logit的范围是$(-\infty ,+\infty )$，我们可以将Logit作为因变量，建立线性模型：
$$logit=log(Odds)=ln(\frac{P}{1-P})={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k$$

方程两边同时exp，可得：
$$\frac{P}{1-P}=e^{{\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k}$$
进一步表示为：
$$P=\frac{1}{1-e^{-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k)}}$$
Odds Ratio（简称OR）指的是两个几率的比值，称为几率比。举个例子，研究人员怀疑性别和是否会游泳之间可能存在某种关系，于是按照“性别”和“是否会游泳”对样本进行进划分，结果如下：

则男性会游泳的概率为100/300，Odds为100/200，男性会游泳的概率为100/400，Odds为100/300，

则男性相对女性会游泳的Odds Ratio = 100/200/(100/300) =1.5

当OR>1时，分子上的Odds值较大——说明男性会游泳的几率（Odds）更高；若OR=1，则说明性别对是否会游泳没有影响。

三、Logit模型的python实现——采用statsmodels

（一）案例一

以Social_Network_Ads数据为例，演示逻辑回归的Python操作。数据文件一共400条数据，前面四列是用户ID(User ID)、性别(Gender)、年龄(Age)、大致薪水(EstimatedSalary)，第五列为是否购买(Purchased)，没购买是0，购买是1。数据源文件链接：https://pan.baidu.com/s/1HA6prrhdenNnI76G5QryMw 提取码：zul4。

首先导入相关库。

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm
from patsy import dmatrices
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用pandas的read_csv函数读取原始数据文件。

data = pd.read_csv(r'C:\Users\mi\Downloads\Social_Network_Ads.csv')
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在Spyder的变量浏览器中，可查看data变量。

可查看data信息。

print(data.info())
1

结果为：

<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
RangeIndex: 400 entries, 0 to 399
Data columns (total 5 columns):
 #   Column           Non-Null Count  Dtype  
---  ------           --------------  -----  
 0   User ID          400 non-null    int64  
 1   Gender           400 non-null    object 
 2   Age              400 non-null    float64
 3   EstimatedSalary  400 non-null    float64
 4   Purchased        400 non-null    int64  
dtypes: float64(2), int64(2), object(1)
memory usage: 15.8+ KB
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用DataFrame的describe()函数对样本中的各变量做描述性分析，结果如下面所示。我们可以得到每一个变量的出现的频数（count）、均值（mean）、标准差（std）、最大/小值（min/max）、百分位数（25%，50%，75%）等信息。

print(data.describe())
1

结果为：

            User ID         Age  EstimatedSalary   Purchased
count  4.000000e+02  400.000000       400.000000  400.000000
mean   1.569154e+07   37.655000     69742.500000    0.357500
std    7.165832e+04   10.482877     34096.960282    0.479864
min    1.556669e+07   18.000000     15000.000000    0.000000
25%    1.562676e+07   29.750000     43000.000000    0.000000
50%    1.569434e+07   37.000000     70000.000000    0.000000
75%    1.575036e+07   46.000000     88000.000000    1.000000
max    1.581524e+07   60.000000    150000.000000    1.000000
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接下来进行Logit回归，有基于公式和基于数组两种方法。

方法一：基于公式

import statsmodels.formula.api as smf

logit = smf.logit(formula='Purchased ~ Age + EstimatedSalary + Gender', data = data)
results = logit.fit()
print(results.summary())
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方法二：基于数组

调用Logit() 函数的基本格式为：

sm.Logit(endog,exog)
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代码如下：

import statsmodels.api as sm
from patsy import dmatrices

y,X = dmatrices('Purchased ~ Age + EstimatedSalary + Gender',data = data,return_type='dataframe')

logit = sm.Logit(y,X)
results = logit.fit()
print(results.summary())
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方法一和方法二的结果一致，为：

                           Logit Regression Results                           
==============================================================================
Dep. Variable:              Purchased   No. Observations:                  400
Model:                          Logit   Df Residuals:                      396
Method:                           MLE   Df Model:                            3
Date:                Sat, 20 Aug 2022   Pseudo R-squ.:                  0.4711
Time:                        11:33:28   Log-Likelihood:                -137.92
converged:                       True   LL-Null:                       -260.79
Covariance Type:            nonrobust   LLR p-value:                 5.488e-53
===================================================================================
                      coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
-----------------------------------------------------------------------------------
Intercept         -12.7836      1.359     -9.405      0.000     -15.448     -10.120
Gender[T.Male]      0.3338      0.305      1.094      0.274      -0.264       0.932
Age                 0.2370      0.026      8.984      0.000       0.185       0.289
EstimatedSalary  3.644e-05   5.47e-06      6.659      0.000    2.57e-05    4.72e-05
===================================================================================
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上表中输出了Logit模型的相关拟合结果。结果包含两部分：上半部分给出了和模型整体相关的信息，包括因变量的名称（Dep. Variable: Purchased）、模型名称（Model: Logit）、拟合方法（Method: MLE 最大似然估计）等信息；下半部分则给出了和每一个系数相关的信息，包括系数的估计值（coef）、标准误（std err）、z统计量的值、显著水平（P>|z|）和95%置信区间。

根据上表可以得到本例中Logit模型的具体形式：
$$logit=log(Odds)=ln(\frac{P}{1-P})=-12.7836+0.2370Age+3.644\ast 10^{-5}EstimatedSalary+0.3338Gender[T.Male]$$
Logit模型变量的系数是指：自变量每变化一个单位，几率（Odds）的对数的变化值。在本例中，以变量Age的系数为例，其解读方式为：当其它变量保持不变时，申请者的Age年龄每增加一岁，其购买汽车的对数几率增加0.2370（绝对数），对数几率并不易直观理解。由于取对数约等于百分比的变化，故可理解为几率约增加23.70%（相对数）。

假设$x_i$变化一单位，从$x_i$变为$x_i+1$，记几率odd的新值为$od{d}^{\ast }$，则可根据新几率$od{d}^{\ast }$与原几率odd的比率定义几率比。
$$OR=\frac{odd{s}^{\ast }}{odds}=\frac{exp[{\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...{\beta }_i(x_i+1)+{\beta }_k{x}_k]}{exp({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...{\beta }_i{x}_i+{\beta }_k{x}_k)}=exp({\beta }_i)$$

or = np.exp(results.params)
print(or)
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结果为：

Intercept          0.000003
Gender[T.Male]     1.396324
Age                1.267402
EstimatedSalary    1.000036
dtype: float64
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在本例中，以变量Age的OR为例，其解读方式为：当其它变量保持不变时，申请者的Age年龄每增加一岁，其购买汽车的几率变为原来的1.267倍，即几率增加了26.7%。

如果想计算每个变量的“边际效应”，可使用get_margeff()方法，并将所得结果用summary()方法展示。

什么是边际效应呢？即$dp/dx$，概率对自变量求导数。

get_margeff(at='overall', method='dydx', atexog=None, dummy=False, count=False)
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其参数说明如下：

计算平均边际效应：

margeff = results.get_margeff()
print(margeff.summary())
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结果如下：

=====================================
Dep. Variable:              Purchased
Method:                          dydx
At:                           overall
===================================================================================
                     dy/dx    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
-----------------------------------------------------------------------------------
Gender[T.Male]      0.0368      0.034      1.099      0.272      -0.029       0.103
Age                 0.0262      0.001     18.674      0.000       0.023       0.029
EstimatedSalary  4.022e-06   4.55e-07      8.840      0.000    3.13e-06    4.91e-06
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结果解释：当保持其他变量的取值不变时，男性买车的概率比女性高3.68%；当保持其他变量的取值不变时，年龄每增加一岁，买车的概率高2.62%。

（二）案例二

以titanic数据为例，演示逻辑回归的Statsmodels操作。数据链接：https://pan.baidu.com/s/1ipxk-hMWQasHefOX4mMC-w 提取码：07wv

首先导入相关库。

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm
from patsy import dmatrices
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用pandas的read_csv函数读取原始数据文件。

titanic = pd.read_csv(r'C:\Users\mi\Downloads\MLPython_Data\titanic.csv')
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在Spyder的变量浏览器中，可查看titanic变量。

数据框的最后一个变量Freq，表示每个观测值在样本中出现的次数。因变量Survived取值为Yes或No，表示是否存活。因变量包括Age（取值为Child或Adult），Sex（取值为Male或Female），以及Class（取值为1st，2nd，3rd或Crew，分别表示头等舱、二等舱、三等舱与船员）。

需要将数据框完全展开，根据变量Freq让不同的观测值在数据框中以相应的频次出现。为此，使用to_numpy()方法，将变量Freq变为数组，并记为freq：

freq = titanic.Freq.to_numpy()
1

然后，使用np.repeat()函数，将np.arange(len(titanic))中每个元素，按照freq的频率进行重复，并记所得数组为index：

index = np.repeat(np.arange(len(titanic)),freq)
1

利用数据框的索引方法，可得整个样本：

titanic = titanic.iloc[index,:]
1

然后，去掉变量Freq：

titanic = titanic.drop('Freq',axis=1)
1

获取的titanic数据框如下：

可查看titanic数据框信息。

print(titanic.info())
1

结果为：

<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
Int64Index: 2201 entries, 2 to 31
Data columns (total 4 columns):
 #   Column    Non-Null Count  Dtype 
---  ------    --------------  ----- 
 0   Class     2201 non-null   object
 1   Sex       2201 non-null   object
 2   Age       2201 non-null   object
 3   Survived  2201 non-null   object
dtypes: object(4)
memory usage: 86.0+ KB
None
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接下来进行Logit回归，有基于公式和基于数组两种方法。

方法一：基于公式

由于因变量survived是字符型的分类变量，如果不对survived做处理，则会报错。

错误代码：

import statsmodels.formula.api as smf

logit = smf.logit(formula='Survived ~ Class + Sex + Age', data = titanic)
results = logit.fit()
print(results.summary())
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返回结果：

ValueError: endog has evaluated to an array with multiple columns that has shape (2201, 2). This occurs when the variable converted to endog is non-numeric (e.g., bool or str).
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回归时，若涉及虚拟变量，虚拟因变量必须是数值型的“虚拟变量”，而虚拟自变量可以是字符型的“分类变量”，也可以数值型的“虚拟变量”。

本例中，自变量和因变量均是字符型的“分类变量”，因变量可以转变为数值型的“虚拟变量”，也可以不转变。

因此需要将代码修改为：

import statsmodels.formula.api as smf

titanic['Survived'] = (titanic['Survived'] == 'Yes').astype(int)  # False=0, True=1
logit = smf.logit(formula='Survived ~ Class + Sex + Age', data = titanic)
results = logit.fit()
print(results.summary())
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方法二：基于数组

调用Logit() 函数的基本格式为：

sm.Logit(endog,exog)
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本例中，自变量和因变量均是字符型的“分类变量”，可使用dmatrices()函数将字符型的“分类变量”统一转变为数字型的“虚拟变量”。

y,X = dmatrices('Survived ~ Class + Sex + Age',data = titanic,return_type='dataframe')
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查看y、X数据框。

因变量y：包含两个虚拟变量，即”Survived[No]“和”Survived[Yes]“，而我们仅需要其中一个。为此，保留”Survived[Yes]“。

y= y.iloc[:,1]
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自变量X：已根据原来的分类变量生成了相应的虚拟变量，并去掉了多余的参照类别。比如，对于分类变量Sex，去掉了Sex[T.Female]，仅保留Sex[T.Male]。其中，'T.male’的前缀”T“表示”Treatment“。

完整代码为：

import statsmodels.api as sm
from patsy import dmatrices

y,X = dmatrices('Survived ~ Class + Sex + Age',data = titanic,return_type='dataframe')
y= y.iloc[:,1]

logit = sm.Logit(y,X)
results = logit.fit()
print(results.summary())
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方法一和方法二的结果一致，为：

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==============================================================================
Dep. Variable:               Survived   No. Observations:                 2201
Model:                          Logit   Df Residuals:                     2195
Method:                           MLE   Df Model:                            5
Date:                Mon, 22 Aug 2022   Pseudo R-squ.:                  0.2020
Time:                        15:06:41   Log-Likelihood:                -1105.0
converged:                       True   LL-Null:                       -1384.7
Covariance Type:            nonrobust   LLR p-value:                1.195e-118
=================================================================================
                    coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept         2.0438      0.168     12.171      0.000       1.715       2.373
Class[T.2nd]     -1.0181      0.196     -5.194      0.000      -1.402      -0.634
Class[T.3rd]     -1.7778      0.172    -10.362      0.000      -2.114      -1.441
Class[T.Crew]    -0.8577      0.157     -5.451      0.000      -1.166      -0.549
Sex[T.Male]      -2.4201      0.140    -17.236      0.000      -2.695      -2.145
Age[T.Child]      1.0615      0.244      4.350      0.000       0.583       1.540
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