机器学习（周志华、李航）：决策树——算法原理及代码实现（持续更新）_机器学习周志华决策树代码csdn

4.1 基本流程

决策树（decision tree）：从给定数据集中学得一个模型用以对新示例进行分类。基于树结构进行决策。结点（node），有向边（directed edge）。

• 结点：内部结点（internal node 表示一个特征或属性）；叶结点（leaf node 表示一个类）。
• 决策树分类：
  • 从根结点开始，对实例的某一特征进行测试，根据测试结果将实例分配到其子结点；
  • 每个子结点对应该特征的一个取值；
  • 对所有实例递归地进行测试与分配，直至达到叶结点。最后将实例分到叶结点的类中。

学习时，利用训练数据，根据损失函数最小化原则建立决策树模型。预测时，对新的数据，利用决策树模型进行分类。通常包含3个步骤：特征选择、决策树生成、决策树修剪。

图示4.1：

决策过程中提出的每个判定问题都是对某个属性的“测试”。

• 决策树包含一个根结点、若干个内部结点和若干个叶子结点；
• 叶结点对应于决策结果，其他各结点对应于一个属性测试；每个结点包含的样本结合根据属性测试的结果被划分到子结点中；
• 根节点包含包含样本全集。从根结点到每个叶结点的路径对应了一个判定测试序列。

决策树学习的目的是产生一棵泛化能力强，处理未见示例能力强的决策树。 其流程遵循“分而治之（divide-and-conquer）”策略。

决策树与条件概率分布

决策树表示给定特征条件下类的条件概率分布。将特征空间划分为互不相交的单元（cell），在每个单元定义一个类的概率分布就构成了一个条件概率分布。决策树的一条路径对应划分中的一个单元。以 $X$ 表示特征的随机变量，$Y$ 表示类的随机变量，则条件概率分布表示为：$P(Y|X)$。

各叶结点（单元）上的概率分布偏向某一个类，属于某个类的概率大，决策树分类将该结点的实例强行分到概率大的那一类去。

图示5.2：

图5.2（a）示意特征空间的一个划分。大正方形表示特征空间，被若干个小矩形分割，每个小矩形表示一个单元。所有单元构成一个集合，$X$ 取值为单元的集合。图 5.2（b）中条件概率分布对应于图5.2（a）的划分．当某个单元 $c$ 的条件概率满
足 $P(Y=+1|X=c)>0.5$ 时，则认为该单元属于正类，落在该单元的实例都视为正类。

决策树学习

过程描述：递归地选择最优特征，对训练数据进行分割，使得各子数据集有一个最好的分类。

• 首先，构建根结点，选最优特征，将数据集划分为子集
• 若子集已经被正确分类，则构建叶结点，将子集分到对应叶结点去
• 还有子集不能被正确分类，对这些子集选择新的最优特征，继续分割
• 直至：所有训练数据子集被正确分类；没有合适的特征

图示4.2：

3种递归返回：

• 当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分。
• 当前属性集为空，或所有样本在该属性上取值相同，无法划分。把当前结点标记为叶结点，将其类别设定为所含样本最多的类别。利用当前结点的后验分布。
• 当前结点包含的样本集合为空，不能划分。把当前结点标记为叶结点，将其类别设定为父结点所含样本最多的类别。把父结点的样本分布作为当前结点的先验分布。

4.2 划分（特征）选择

决策树的关键：如何选择最优划分属性。随着划分过程的不断进行，希望决策树的分支结点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的“纯度”（purity）越来越高。

选取对训练数据具有分类能力的特征：按照这一特征将训练数据集分割成子集，使各子集在当前条件下有最好的分类。

4.2.1 信息增益

信息熵（information entropy）：度量样本集合纯度。

当前样本集合：$D$，类别： k ∈ { 1 , 2 , ⋯   , ∣ Y ∣ } k \in \{1,2,\cdots,|\mathcal{Y}|\} k∈{1,2,⋯,∣Y∣}，第$k$类样本所占的比例：$p_k$

$D$的信息熵：
$$\mathrm{Ent}(D)=-\sum _{k=1}^{|\mathcal{Y}|}{p}_k\cdot {\log }_2(p_k)\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

$\mathrm{Ent}(D)$ 的值越小，$D$ 的纯度越高。熵越大，随机变量的不确定性越高。

条件熵 $H(Y|X)$：在已知随机变量 $X$ 条件下随机变量 $Y$ 的不确定性。
$$H(Y|X)=\sum _{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)$$

离散属性： a = { a 1 , a 2 , ⋯   , a V } a = \{a^1, a^2, \cdots, a^V\} a={a1,a2,⋯,aV}；使用 $a$ 对样本集 $D$ 进行划分，产生 $V$ 个分支点。第 $v$ 个分支点包含 $D$ 中所有在属性 $a$ 上取值为 $a^v$ 的样本，记为 $D^v$。

根据式4.1计算出 $D^v$ 的信息熵，不同的分支结点包含样本数不同，给分支结点赋予权重 $|D^v|/|D|$，样本数越多的分支结点的影响越大，然后计算用属性 $a$ 对样本集 $D$ 进行划分后获得的 信息增益（information gain）

$$\mathrm{Gain}(D,a)=\mathrm{Ent}(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}\mathrm{Ent}(D^v)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

注：式4.2 中的第二项就是条件熵 $H(Y|X)$。信息增益表示得知特征 $X$ 的信息而使得类 $Y$ 的信息不确定性减少的程度，也是互信息（mutual information）

信息增益越大，意味着使用属性 $a$ 进行划分所获得的纯度提升越大。

ID3算法：图4.2中算法第8行选择属性 $a_{\ast }={\mathrm{argmax}}_{a\in A}\mathrm{Gain}(D,a)$。

ID3 中的 ID：Iterative Dichotomiser（迭代二分器）。

ID3 算法：

李书示例

表5.1：

周书示例

表4.1：

4.2.2 增益率

在节4.2.1的划分过程中，若将 “编号” 引入划分属性中，则将产生 17 个分支，每个分支结点仅包含一个样本，这些分支结点的纯度已经最大。这会导致其信息增益远大于其他侯选属性。这样的决策树不具有泛化能力，无法对新样本进行预测。

信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好。

C4.5决策树算法：使用**增益率（gain ratio）**来选择最优化分属性。

增益率定义：
$$Gain\_ratio(D,a)=\frac{\mathrm{Gain}(D,a)}{\mathrm{IV}(a)}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
$$\mathrm{IV}(a)=-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}{\log }_2\frac{|D^v|}{|D|}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

$\mathrm{IV}(a)$ 为属性 $a$ 的固有值（intrinsic value）。属性 $a$ 的可能取值数目越多（V越大），则 $\mathrm{IV}(a)$ 的取值通常会越大。

但是，增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好。因此，C4.5决策树算法使用了一个启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

4.2.3 基尼指数

CART 决策树（Classification and Regression Tree）：使用基尼指数来选择划分属性。

数据集 $D$ 的纯度采用基尼值来度量：
$$\begin{gathered} \mathrm{Gini}(D)=\sum _{k=1}^{|\mathcal{Y}|}\sum _{k^{\prime }\ne k}{p}_k{p}_{k^{\prime }} \\ =1-\sum _{k=1}^{|\mathcal{Y}|}{p}_k^2\text{\hspace{1em}(4.5)} \end{gathered}$$

$\mathrm{Gini}(D)$：从数据集 $D$ 中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。$\mathrm{Gini}(D)$ 越小，$D$ 的纯度越高。

则，属性 $a$ 的基尼指数为：

$$Gini\_index(D,a)=\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}\mathrm{Gini}(D^v)\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

选择使得划分后基尼指数最小的属性作为最优化分属性，即 $a_{\ast }={\mathrm{argmax}}_{a\in A}Gini\_index(D,a)$

4.3 剪枝处理

决策树学习时，为尽可能正确分类训练样本，不断重复结点划分过程，造成决策树分支过多，容易导致把训练集自身的某些特点当成所有数据的一般性质——过拟合。

通过主动去掉一些分支来降低过拟合的风险。

两种剪枝策略：“预剪枝（prepruning）” 和 “后剪枝（postpurning）”。

采用留出法判断决策树的泛化性能：预留一部分训练数据作为“验证集”以进行性能评估。
如对表4.1中数据集随机划分为两部分，表4.2：

从表4.2中训练集构建决策树，并分别研究剪枝方案。

4.3.1 预剪枝

决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点划分不能带来决策树泛化能力的提升，停止划分并将当前结点标记为叶结点。

首先，根据信息增益准则，选取属性 脐部 对训练集划分，产生3个分支。
图4.5、4.6：

• 若不划分，样例都集中在根结点，根结点为叶结点，类别标记为训练样例数最多的类别——好瓜。
  用表4.2验证集进行评估，编号 { 4 , 5 , 8 } \{4,5,8\} {4,5,8}分类正确。验证集精度：$\frac{3}{7}\times 100\%=42.9\%$
• 用属性 脐带 划分后，验证集中 { 4 , 5 , 8 , 11 , 12 } \{4,5,8,11,12\} {4,5,8,11,12}分类正确，精度：$\frac{5}{7}\times 100\%=71.4\%>42.9\%$
• 因此，确定以 脐带 进行划分

接下来分别对划分后各结点进行类似操作：

• 结点②：信息增益准则挑选 色泽 为划分属性，划分后，编号 { 5 } \{5\} {5} 分类由正确转为错误，精度下降，预剪枝策略禁止结点②被划分。
• 结点③：最优属性 根蒂，划分后不能提升精度，不划分。
• 结点④：所含训练样本属于同一类，不再进行划分。

对比图4.5与图4.6：

• 预剪枝使决策树的很多分支没有展开，降低了过拟合的风险，减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销
• 有些分支的当前划分虽不能提升泛化性能、甚至可能导致泛化性能暂时下降，但在其基础上进行的后续划分却有可能导致性能显著提高；预剪枝基于“ 贪心” 本质禁止这些分支展开，预剪枝决策树存在欠拟合风险

4.3.2 后剪枝

先从训练集生成完整决策树，然后自底向上对非叶结点进行考察，若将该结点对应子树替换为叶结点可提升泛化性能，则将该子树替换为叶结点。

• 首先，考察图4.5中的结点⑥：若剪去其领衔分支，替换成叶结点。则，替换后叶结点包含 { 7 , 15 } \{7,15\} {7,15} 的训练样本，类别为 “好瓜”。验证集精度提高至 $57.1\%$。后剪枝决定剪枝。
• 考察结点⑤：类似操作后，精度仍为 $57.1\%$。不剪枝。
• 对结点②：提升至 $71.4\%$.剪枝。
• 结点③和①：未得到提高，保留。

图4.7：

对比图 4.7 和图 4.6:

• 后剪枝一般比预剪枝保留更多分支
• 后剪枝欠拟合风险小，泛化能力往往优于预剪枝决策树
• 后剪枝在决策树完全生成后进行，且自底向上对树中所有非叶结点进行逐一考察，故训练时间开销比未剪枝决策树和预剪枝大很多

4.4 连续与缺失值

4.4.1 连续值处理

连续属性的可取值数目不再有限，不能直接根据连续属性的可取值来对结点进行划分——连续属性离散化：二分法。

样本集 $D$，连续属性 $a$，假定 $a$ 在 $D$ 上出现了 $n$ 个不同的取值，从小到大排序： { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } \{a^1,a^2,\cdots,a^n\} {a1,a2,⋯,an}。基于划分点 $t$ 将 $D$ 分为子集 $D_t^{-}$ 和 $D_t^{+}$，$D_t^{-}$ 包含在属性 $a$ 上取值不大于 $t$ 的样本，$D_t^{+}$ 包含在属性 $a$ 上取值大于 $t$ 的样本。

对相邻的属性取值 $a^i$ 和 $a^{i+1}$，$t$ 在区间 $[a^i,a^{i+1})$ 中取任意值所产生的划分结果相同。因此，对连续属性 $a$，考察包含 $n-1$ 个元素的候选划分点集合：
T a = { a i + a i + 1 2 ∣ 1 ≤ i ≤ n − 1 } (4.7) T_a = \{ \frac{a^i+a^{i+1}}{2} | 1 \leq i \leq n-1 \} \tag{4.7} Ta​={2ai+ai+1​∣1≤i≤n−1}(4.7)

即取区间 $[a^i,a^{i+1})$ 的中位点为候选划分点。然后，像离散属性值一样考察这些划分点，选取最优划分点进行样本集合划分。

式4.8：

$\mathrm{Gain}(D,a,t)$ 是样本集 $D$ 基于划分点 $t$ 二分后的信息增益。选择使 $\mathrm{Gain}(D,a,t)$ 最大化的二分点。

例子
表4.3：

注：与离散属性不同，若当前结点划分属性为连续属性，该属性还作为其后代结点的划分属性。例如在父结点上使用了 “密度≤0.381” ， 不会禁止在子结点上使用 “密度≤0.294”。

4.4.2 缺失值处理

表4.4：

确定划分属性

样本集 $D$，属性 $a$，$\tilde{D}$ 表示 $D$ 中在属性 $a$ 上没有缺失值的样本子集。

根据 $\tilde{D}$ 来判断属性 $a$ 的优劣。

假定：属性 $a$ 有 $V$ 个可取值 { a 1 , a 2 , ⋯   , a V } \{a^1,a^2,\cdots,a^V\} {a1,a2,⋯,aV}，${\tilde{D}}^v$ 表示 $\tilde{D}$ 中在属性 $a$ 上取值为 $a^v$ 的样本子集，${\tilde{D}}_k$ 表示 $\tilde{D}$ 中属于第 $k$ 类（$k=1,2,\cdots ,|\mathcal{Y}|$）的样本子集。

有：$\tilde{D}={\bigcup }_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}{\tilde{D}}_k={\bigcup }_{v=1}^V{\tilde{D}}^v$

为每个样本 $x$ 赋予一个权重 $w_x$，
定义：

对属性 $a$：

• $\rho$ 表示无缺值样本所占比例
• ${\tilde{p}}_k$ 表示无缺失值样本中第 $k$ 类所占比例
• ${\tilde{r}}_v$ 表示无缺失值样本中属性 $a$ 上取值 $a^v$ 的样本所占比例

信息增益计算推广式：

操作

对样本 $x$

• 若其在划分属性 $a$ 上取值已知，将 $x$ 划入与其取值对应的子结点，样本权值在子结点中保持为 $w_x$
• 若其在划分属性 $a$ 上取值未知，将 $x$ 划入所有子结点，样本权值在与属性值 $a^v$ 对应的子结点中调整为 ${\tilde{r}}_v\cdot w_x$。即：让同一个样本以不同的概率划入到不同的子结点中去

例子

以表4.4数据为例

4.5 多变量决策树

若视每个属性为坐标空间的一个坐标轴，则 $d$ 个属性 描述的样本对应了 $d$ 维空间中的一个数据点。

样本分类 $⟺$ 在坐标空间中寻找不同类样本之间的分类边界。

决策树形成的分类边界：由若干个与坐标轴平行的分段组成。

表4.5数据集构成的分类边界：

分类边界的每一段都与坐标轴平行，即每一段的划分都直接对应了某个属性的取值 $\nRightarrow$ 当学习任务的真实分类边界比较复杂时。必须使用很多段划分才能获得较好的近似。

决策树会非常复杂：

多变量决策树试图实现如图4.12中斜的划分边界，简化决策树模型。非叶结点不再是仅对某种属性，而是对属性的线性组合进行测试，即每个非叶结点是一个形如 ${\sum }_{i=1}^d{w}_i{a}_i=t$ 的线性分类器。$w_i$ 为属性 $a_i$ 的权重，$w_i$ 和 $t$ 可在该结点包含的样本集和属性集上学得。

多变量决策树在学习过程中试图建立合适的线性分类器。

对数据集 $3.0\alpha$

4.6 CART 算法

在给定输入随机变量 $X$ 条件下输出随机变量 $Y$ 的条件概率分布的学习方法。

CART 决策树

• 二叉树
• 内部结点特征的取值为 “是” 和 “否”，左分支为取值 “是” 的分支，右分支为取值 “否” 的分支
• 递归地二分每个特征，将输入空间即特征空间划分为有限个单元，在这些单元上确定预测的概率分布，即在输入给定的条件上输出的条件概率分布

CART 算法

• 决策树生成：基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量大
• 决策树剪枝：用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树，这时用损失函数最小作为剪枝的标准

4.6.1 CART 生成

对回归树用平方误差最小化准则，对分类树用基尼指数（Gini index）最小化准则，进行特征选择，生成二叉树。

1. 回归树生成

2. 分类树生成

基尼指数：分类问题，设有 $K$ 个类，样本属于第 $k$ 类的概率 $p_k$，概率分布的基尼指数定义为：
$$\mathrm{Gini}(p)=\sum _{k=1}^K{p}_k(1-p_k)=1-\sum _{k=1}^K{p}_k^2\text{\hspace{1em}(5.22)}$$
对于二类分类问题，若样本点属于第一类的概率为 $p$，则概率分布的基尼指数：$\mathrm{Gini}(p)=2p(1-p)$。

样本集合 $D$，基尼指数为：
$$\mathrm{Gini}(D)=1-\sum _{k=1}^K(\frac{C_k}{D}{)}^2\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

$C_k$ 是 $D$ 中属于第 $k$ 类的样本子集，$K$ 是类的个数。

样本集合 $D$ 根据特征 $A$ 是否取某一可能值 $a$ 被分割成 $D_1$ 和 $D_2$ 两部分：
$$D_1=\{(x,y)\in D|A(x)=a\},D_2=D-D_1$$

在特征 $A$ 的条件下，集合 $D$ 的基尼指数为：
$$\mathrm{Gini}(D,A)=\frac{D_1}{D}\mathrm{Gini}(D_1)+\frac{D_2}{D}\mathrm{Gini}(D_2)\text{\hspace{1em}(5.25)}$$

基尼指数表示集合 $D$ 的不确定性，$\mathrm{Gini}(D,A)$ 表示经 $A=a$ 分割后集合 $D$ 的不确定性，基尼指数越大，样本集合的不确定性越大。

4.6.2 CART 剪枝

代码实现

在DNA数据集上通过ID3算法实现数据分类。