dp学习——入门篇_dp算法 理解

dp是什么

dp也就是动态规划算法，空间换时间的思想。
通过利用储存的子问题信息高效求出当前问题的最优解。

如何发现一个题符合dp

1.能够通过一个子问题推到另一个最优子结构，利用计算出的信息得到最优解。
2.遵循一个顺序，重复计算子问题，且无后效性。
其中具有最优子结构也可能是适合用贪心的方法求解。
无后效性的意思就是后面的情况影响不到前面。

dp题目

P1216 数字三角形
题意：找到一条路的权值和最大
思路：因为这条路有一个特点，从a[i][j]到a[i+1][j]或a[i+1][j+1]，所以很容易想到式子为dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]，又因为要最大，所以就可以求一个max，来求出最优子结构，因为是从上往下走，且a[i][j]都大于等于0，所以最后再到最后一行去找最大值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxx=1010;
ll dp[maxx][maxx];
ll b[maxx][maxx];
int main()
{
   
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
   
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
   
			scanf("%lld",&b[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
   
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
   
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+b[i][j],dp[i][j]);
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+b[i][j],dp[i][j]);
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
   
		ans=max(ans,dp[n][i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
 } 
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P1434 滑雪
题意：给一个二维数组，每个数代表一个高度，选择一个点走，可以上下左右走，但只能从高到低，求最长的路。
思路：最容易想到搜索，但怎么用dp去写。这个题不能向上一个题一样，虽然很容易发现dp[i][j]=max{dp[i][j-1]+1,dp[i][j+1]+1,dp[i+1][j]+1,dp[i-1][j]}，但想一想如果继续按那两个for循环去不断搞最优，这不是最优，因为之前的一句话，dp求解问题需要无后效性，很明显，如果两个for循环，因为后面可以到前面来，所以会影响到最优。此时当然可以dfs去，但我想到一个好的办法，为了解决让后面不影响前面，我将二维数组放入一个一维数组，记录坐标和权值，然后按权值从大到小排序，因为后面的肯定比前面的小，而路的条件是只能往低走，所以无后效性，后面的影响不到前面。因此可以得到最优解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxx=1010;
int dp[maxx][maxx];
int b[maxx][maxx];
struct point
{
   
	int x;
	int y;
	int w; 
 } a[maxx*maxx];
 bool cmp(point x,point y)
 {
   
 	return x.w>y.w;
 }
int main()
{
   
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
   
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
   
			scanf("%d",&b[i][j]);
			a[++cnt].x=i;
			a[cnt].y=j;
			a[cnt].w=b[i][j];
		}
	}
	sort(a+1,a+cnt+1,cmp);
	int ans=0;
	for(int i
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