泊松公式推导_泊松分布的数学期望推导过程

泊松分布是二项式分布的一种极限情况，一般用于时间或者面积这种可以无限细分的抽象概念。

问题引入

在一段时间T里面期望发生n次事件a，求在时间段T发生k次事件a的概率。（这里的期望指的是数学期望，就是n重伯努利试验中事件发生的概率乘以n）

推导过程

1.假设时间T是一个线，事件a发生在线T上的某一个点上，不妨先把点看成是一跟无限短的线。

2.将T进行n等分均分，并保证每等分的情况∈{发生一次，没有发生}。

这就将题目变成了一个二项分布的问题（二项等概率事件在n次实验下发生k次的概率问题），。

3.根据2就可以得出如下公式。

n就是区间的个数，但是由于题目讨论的是线上的点，所以可以让n趋向于无穷大，那区间足够小就可以视作一个点。p就是a发生在区间上的概率。

4.接着3继续分析，可以得到两个公式。

点的概率公式：
λ=np，即事件发生的数学期望。

时间段T内发生k次事件的概率：

第一个公式是该点发生事件a的概率公式，k(事件期望发生次数)除以n（实验次数），得到了事件a在该点发生的概率。第二个公式是利用二项分布公式的极限情况，算出的概率。

5.然后开始化简第二个公式。

根据化简后的公式，只需要知道λ，就可以很容易的求出在k为任意数的概率，相比于二项分布公式，大大简化了计算，解的误差也很小。

总结：

泊松分布用于解决可以无限细分的问题，或者是采用二项分布计算过于麻烦且精度要求没那么高的场合，总的思路就是将事件无限细分，让每个细分区间都可能发生两种情况，然后利用二项分布公式求的近似解。