算法笔记【3】 树状数组_树状数组的复杂度

算法笔记【3】 树状数组

树状数组简介

树状数组（Binary Index Tree, BIT）也是很多OIer心中最简洁优美的数据结构之一。最简单的树状数组支持两种操作，时间复杂度均为O(logN)：

• 单点修改：更改数组中一个元素的值
• 区间查询：查询一个区间内所有元素的和

当然，树状数组能维护的不局限于加法，支持的操作也不止这两种，甚至有大佬能用树状数组实现平衡树，但这篇笔记不会深入讨论（因为我也还不是很懂hh）。

我们还是先来看一道模板题，来看看树状数组最基本的应用场景：

（HDU P1166）敌兵布阵

Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

这个数据范围，直接模拟肯定会T，所以我们要使用数据结构来维护数组，树状数组可以说是其中最简洁的一种。我们来看看树状数组是怎么实现的。

树状数组的引入

回顾一下，我们说，我们要实现两种操作：单点修改和区间求和。对于普通数组而言，单点修改的时间复杂度是 O(1)，但区间求和的时间复杂度是O(n) 。

当然，我们也可以用前缀和的方法维护这个数组，这样的话区间求和的时间复杂度就降到了 O(1) ，但是单点修改会影响后面所有的元素，时间复杂度是O(n)。

程序最后跑多长时间，是由最慢的一环决定的，因此现在我们希望找到这样一种折中的方法：无论单点修改还是区间查询，它都能不那么慢地完成。

注意到对 [a,b] 进行区间查询只需查询 [1,b] 和 [1,a]然后相减即可（前缀和就是这样进行区间查询的），所以我们可以把区间查询问题转化为求前n项和的问题。

关于数组的维护，有个很自然的想法：可以用一个数组 C 维护若干个小区间，单点修改时，只更新包含这一元素的区间；求前n项和时，通过将区间进行组合，得到从1到n的区间，然后对所有用到的区间求和。实际上，设原数组是 A ，如果 C[i] 维护的区间是 [A[i],A[i]] ，此结构就相当于普通数组（还浪费了一倍内存）；如果C[i] 维护的区间就是 [1,A[i]] ，此结构就相当于前缀和。

现在我们试图寻找一种结构，一方面，单点修改时需要更新的区间不会太多；另一方面，区间查询时需要用来组合的区间也不会太多。

树状数组就是这样一种结构，它巧妙地利用了二进制（实际上，树状数组的英文名BIT，直译过来就是二进制下标树）。例如11，转化为二进制数就是 (1011)，如果我们要求前11项和，可以分别查询 （（0000）,（1000）]、（（1000）,（1010）] 以及（（1010）,（1011）]的和再相加。这三个区间怎么来的呢？其实就是不断地去掉二进制数最右边的一个1的过程（如下图）。

我们定义，二进制数最右边的一个1，连带着它之后的0为 lowbit(x) 。那么我们用C[i] 维护区间

（（A[i] - lowbit(x)）,A[i]]，这样显然查询前n项和时需要合并的区间数是少于 log2N的。树状数组的结构大概像下面这样：

那么如何更新呢，大家会发现更新就是一个“爬树”的过程。一路往上更新，直到MAXN（树状数组的容量）。

我们举个例子来看看这树是怎么爬的。 现有二进制数（100110） ，包含它的最小区间当然是

（（100100），（100110）]。然后，它也肯定位于区间（（100000），（101000）]内。然后是（（100000），（110000）]，再然后是（（0），（1000000）]

如上图，每一步都把从右边起一系列连续的1变为0，再把这一系列1的前一位0变为1。这看起来像是一个进位的过程对吧？实际上，每一次加的正是lowbit(x)。（神奇吧？）这样，我们更新的区间数不会超过log2(Max) 。一个能以 O(log2N)时间复杂度进行单点修改和区间查询的数据结构就诞生了。

树状数组的实现

前面已经讲得很详细了，代码实现倒是一件简单的事了。不过我们需要先解决一个问题：lowbit怎么算？如果一位一位验证的话，会形成额外的时间开销。然而，我们有这样神奇的一个公式：

lowbit(x) = x & (-x)

为什么可以这样？我们需要知道，计算机里有符号数一般是以补码的形式存储的。-x相当于x按位取反再加1，会把结尾处原来1000…的形式，变成0111…，再变成1000…；而前面每一位都与原来相反。这时我们再把它和x按位与，得到的结果便是lowbit(x)。下面的图中举了两个例子：

现在我们可以愉快地实现树状数组了：

单点修改

public void update(int i, int x) {
    for (int pos = i; pos <= n; pos += lowbit(pos)) {
        c[pos] += x;
    }
}
1
2
3
4
5

求前n项和

public int getCount(int i) {
    int ans = 0;
    for (int pos = i; pos > 0; pos -= lowbit(pos)) {
        ans += c[pos];
    }
    return ans;
}
1
2
3
4
5
6
7

区间查询

public int getCount(int x, int y) {
    return getCount(y) - getCount(x - 1);
}
1
2
3

初始化的时候，我们只需要update每个点的初始值即可。

树状数组的应用

然而，这只是树状数组最基本的应用。树状数组的应用是非常广泛的，例如，非常常见的一个应用是求逆序对：

（洛谷P1908） 逆序对

题目描述
猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i<j的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。
输入格式
第一行，一个数n，表示序列中有n个数。
第二行n个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过10^9
输出格式
给定序列中逆序对的数目。

当然逆序对也可以用归并排序的方法求，但树状数组的空间复杂度更低。其实我们与其说在用树状数组求逆序对，不如说是在求非严格顺序对（顺序对和相等对），然后间接算出逆序对的数量。我们是怎么算出非严格顺序对的个数的呢？

例如，我们要求5 4 1 3 2的逆序对。用ans记录顺序对的数量。

我们按顺序去填充树状数组，第一个数字是5，这时没有数比5小，所以ans保持为0。我们把c[5]填为1。

下一个数字是1，这时也没有数比1小，ans仍为0。我们把c[1]填为1。

下一个数字是3，这时getCount(3)为1，有一个数比3小了，ans变为1。然后再填c[3]。

下一个数字是2，这时query(2)为1，说明前面有一个数比2小，ans再加1变为2。然后填tree[2]。

最后一个数字是4，query(4)为3，说明前面有3个数比4小，ans加3变为5。所以非严格顺序对的总数就是5。那么逆序对共有 [（5*4）/2] - 5 个。

当然，这道逆序对的题还涉及到离散化等问题，这个以后可能我也会写相关笔记。完整代码如下：

public static void main(String[] args) {
    int[] a = new int[]{7, 5, 1, 3, 2, 4, 6};
    TreeArray treeArray = new TreeArray(100);
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        treeArray.update(a[i], 1);
    }
    int count = treeArray.count;

    System.out.println("逆序对数：" + (a.length * (a.length - 1) / 2 - count));
}

static class TreeArray {
    // 数组大小
    int n;

    // 树状数组
    int[] c;
    int count = 0;

    public TreeArray(int n) {
        this.n = n;
        this.c = new int[n];
    }

    private int lowbit(int x) {
        return x & (-x);
    }

    public void update(int i, int x) {
        count += getCount(i);
        for (int pos = i; pos <= n; pos += lowbit(pos)) {
            c[pos] += x;
        }
    }

    public int getCount(int i) {
        int ans = 0;
        for (int pos = i; pos > 0; pos -= lowbit(pos)) {
            ans += c[pos];
        }
        return ans;
    }

    public int get(int i) {
        return getCount(i, i);
    }

    public int getCount(int x, int y) {
        return getCount(y) - getCount(x - 1);
    }

}
1
2
3
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5
6
7
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其实单单是对这个求逆序对的拓展应用，就有不少题目了，可见这个树状数组的应用面是多么广泛。

--------------最后感谢大家的阅读，愿大家技术越来越流弊！--------------

--------------也希望大家给我点支持，谢谢各位大佬了！！！--------------