运筹学--整数规划_整数规划决策变量不连续

整数规划

• 对比线性规划是连续变量的线性优化问题，整数规划其实就是整数变量的优化问题，研究比较多的是纯整数线性规划或者混合整数线性规划（MILP），区别于线性规划，整数规划强调的是决策变量的取值必须是整数。解线性规划的方法不能保证求出的解满足整数条件，因此引出来求解整数规划的对应方法，比较常见的是分支定界与割平面法。另外一些方法先留一下，随后再总结。

---

分支定界法

• 分支定界：Branch and bound
• 从方法命名上其实就能看出一些问题，核心的点就是两个：分支、定界。
• 方法的思路：假设一个整数规划的问题是A，去除整数这个约束可以得到与这个命题相对应的线性规划命题B，首先从解命题B开始，如果求出的最优解不满足整数条件，那么这个最优解可以看作是命题A的上界$\overline{z}$，而问题A的任何一个可行解都可以作为一个下界$\underline{z}$。分支定界的目的其实就是不断的将B问题进行划分以降低上界，增加下界，知道找到最优解$z^{\ast }$。
• 解命题B的线性优化命题就可以使用单纯形法进行解决。

eg：
m a x z = 40 x 1 + 90 x 2 s . t . 9 x 1 + 7 x 2 ≤ 56 7 x 1 + 20 x 2 ≤ 70 x 1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 整 数

$$\begin{aligned} &max&z = 40x_1 +90x_2\\ &s.t. &9x_1 +7x_2 \leq56\\ & &7x_1 +20x_2 \leq70\\ & &x_1,x_2 \geq0\\ & &x_1,x_2 整数\\ \end{aligned}$$ ​maxs.t.​z=40x1​+90x2​9x1​+7x2​≤567x1​+20x2​≤70x1​,x2​≥0x1​,x2​整数​

命题A可以看作是原问题，命题B可以看作是去除了最后一个$x_1,x_2整数$的约束条件后的问题

1. 首先求解B问题，二元的优化命题可以直接利用图解法进行求解，得到的最优解：$x_1=4.81,x_2=1.82,z_0=356$
2. 从求解的结果上看，决策变量取值不满足整数约束，但是最终求出的目标函数值$z_0=356$可以看作是问题A的上界$\overline{z}=356$，从约束看，很容易找到一个下界限就是$x_1=0,x_2=0,\underline{z}=0$.
3. 下一步就是针对不满足整数条件变量进行分支，基于变量$x_1$可以分为两个部分{$B_1:x_1\le 4;B_2:x_2\ge 5;$}，分别针对两个分支进行求解，得到如下的结果：

4. 通过上述解可以重新更新上界$\overline{z}=349$，下界仍然不变，在这个基础上重新进行分支，分别对$B_1$问题进行分支{$B_3:x_2\le 2;B_4:x_2\ge 3;$}以及对$B_2$问题进行分支{$B_5:x_1\le 1;B_6:x_2\ge 2;$}
5. 求解上述问题，有如下的结果：

6. 利用上述结果重新更新界，有上界：$\overline{z}=340$，下界：$\underline{z}=340$，因此得到的最优解就是$B_3$的最优解。

值得注意的是，分支定界法是整数规划命题的精确解法。上述就是整个分支定界的操作流程，重点就是分支+定界，不断迭代去更新界。

---

割平面法

与分支定界相比的相同点：将整数规划转化为线性规划去做
思路： 先不考虑整数条件，求解对应的线性优化命题，得到最优解，如果存在不满足整数解的变量，则增加切割方程以去除非整数解，在原有的可行域中切割掉一部分。
核心： 寻找切割方程
方法： Gomory割平面法

e.g.

m a x z = x 1 + x 2 s . t . − x 1 + x 2 ≤ 1 3 x 1 + 1 x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 整 数

$$\begin{aligned} &max&z = x_1 +x_2\\ &s.t. &-x_1 +x_2 \leq1\\ & &3x_1 +1x_2 \leq4\\ & &x_1,x_2 \geq0\\ & &x_1,x_2 整数\\ \end{aligned}$$ ​maxs.t.​z=x1​+x2​−x1​+x2​≤13x1​+1x2​≤4x1​,x2​≥0x1​,x2​整数​

1. 通过单纯形法求解原有原问题，最终得到如下最优结果下的单纯形表。

2. 对最终的单纯形表进行处理，得到如下的对应式：
   $$\begin{gathered} x_1-1/4x_3+1/4x_4=3/4 \\ {x}_2+3/4x_3+1/4x_4=7/4 \end{gathered}$$
   对上述等式进行分解，分解成整数和非负真分数之和
   $$\begin{gathered} x_1+(-1+3/4)x_3+1/4x_4=3/4 \\ {x}_2+3/4x_3+1/4x_4=1+3/4 \end{gathered}$$
   进而将整数部分与分数部分分开，移到等式的左右两边，得到：
   $$\begin{gathered} x_1-x_3=3/4-3/4x_3-1/4x_4 \\ {x}_2-1=3/4-3/4x_3-1/4x_4 \end{gathered}$$

3. 观察上述式子可以发现，等式左边必定是整数，那么右边必定也是整数，由于变量的要求均大于等于0，因此右边能够取到的最大整数就是0，一昵称可以得到如下的切割方程：
   $$3/4-3/4x_3-1/4x_4\le 0$$
   将该方程作为约束条件添加到原命题中进行重新求解，不断重复寻找切割方程直到找到满足整数条件的最优解。

后续还会介绍到相关的整数规划解法，例如列生成、以及组合的Branch and cut、Branch and price 以及benders decomposition等方法，同时也会简答说一下相关的改进以及相关求解器