数学建模B_一种太阳能光热发电的能量汇聚系统简化后如图1所示。平行光线先经过若干个长度不

题目

一种太阳能光热发电的能量汇聚系统简化后如图1所示。平行光线先经过若干个长度不超过2.5的直线段反射到曲线EF上，再经过曲线EF反射后汇聚到直线段CD上。已知AB的长度为400，CD的长度为10，OG的高度为100。请设计曲线EF的长度和形状，在设计好曲线EF后，给出下列问题的解答。

问题1 当入射的平行光线与AB的夹角为90度时，请安排长度不超过2.5的直线段的数量、每个直线段的位置和角度，使得与AB垂直的光线经过两次反射后进入CD区间内的比例最大。

问题2 当入射的平行光线与AB的夹角从45度变化到90度的过程中，请给出长度不超过2.5的直线段的数量、位置和角度的调整方案，使得光线经过两次反射后进入CD区间内的比例最大。

问题3 能否将长度为不超过2.5的直线段改为长度不超过2.5的光滑曲线，通过对每一段长度不超过2.5的光滑曲线形状和位置的设计以及角度变化的调整，使得当入射平行光线与AB的夹角从45度变化到90度的过程中，光线经过两次反射后进入CD区间的比例有所提高？

图1  入射平行光线经过二次反射后汇聚示意图

问题1：

1. 确定入射光线与AB的夹角为90度时的设计：

   • 首先，我们可以选择一定数量的直线段，并确定它们的位置和角度。这些直线段将用于实现光线的反射。
   • 接下来，根据入射光线与AB的夹角为90度，使用反射定律来计算光线在每个直线段上的反射角度，并决定光线的路径。

2. 优化直线段的位置和角度：

   • 我们可以使用数值优化方法，例如遗传算法、模拟退火算法等，来调整直线段的位置和角度，以最大化光线经过两次反射后进入CD区间内

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
 
# 已知参数
AB_length = 400    # AB长度
CD_length = 10     # CD长度
OG_height = 100    # OG高度
max_segment_length = 2.5  # 直线段最大长度
num_segments = 10  # 直线段数量
 
# 初始直线段位置和角度
segment_positions = np.linspace(0, AB_length, num_segments+1)
initial_angles = np.linspace(45, 90, num_segments)
 
# 定义光线追踪函数
def ray_trace(angles):
    total_ratio = 0
    for angle, position in zip(angles, segment_positions):
        # 根据入射角计算光线到达CD的比例（这里用简化的线性模型）
        ratio = min(1, CD_length / (position * np.tan(np.radians(angle))))
        total_ratio += ratio
    return -total_ratio  # 返回的是相反的比例，因为我们希望最大化比例
 
# 定义优化问题
result = minimize(ray_trace, initial_angles, method='BFGS')
 
# 输出结果
optimized_angles = result.x
print("优化后的直线段角度:")
print(optimized_angles)
 
# 计算最终的光线到达CD的比例
final_ratio = -result.fun
print("最终光线到达CD的比例:", final_ratio)

优化方案

我们需要找到最佳的反射镜形状，使得光线在AB和CD之间进行多次反射后最终聚焦在一个点上。这个问题可以通过优化算法来解决，其中包括遗传算法、粒子群优化算法等。下面是一个使用遗传算法的示例代码：

import numpy as np
from geneticalgorithm import geneticalgorithm as ga
 
# 目标函数：计算垂直入射光线经过两次反射后进入CD区间内的比例
def objective_function(params):
    # 计算反射点位置
    reflection_points = calculate_reflection_points(params)
    # 计算反射后进入CD区间内的比例
    ratio = calculate_ratio(reflection_points)
    return -ratio  # 由于是最大化比例，因此取负值作为目标函数
 
# 计算反射点位置的函数
def calculate_reflection_points(params):
    # 根据参数计算直线段的位置和角度
    # 计算反射点位置
    pass
 
# 计算反射后进入CD区间内的比例的函数
def calculate_ratio(reflection_points):
    # 计算反射后进入CD区间内的比例
    pass
 
# 定义参数范围
n = 10  # 假设有10个直线段
varbound = np.array([[0, 400], [0, 90]] * n)  # 每个直线段的位置范围为[0, 400]，角度范围为[0, 90]
 
# 使用遗传算法进行优化
model = ga(function=objective_function, dimension=2 * n, variable_type='real', variable_boundaries=varbound)
model.run()
 
# 输出结果
optimal_params = model.output_dict['variable']
print("Optimal Parameters:", optimal_params)

问题2：

1. 调整入射角度并重新设计：
   • 当入射角度从45度变化到90度时，需要重新调整直线段的数量、位置和角度。
   • 对于每个入射角度，使用反射定律计算光线在直线段上的反射角度，并进行优化，以最大化光线进入CD区间的比例。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
 
# 已知参数
AB_length = 400    # AB长度
CD_length = 10     # CD长度
OG_height = 100    # OG高度
max_segment_length = 2.5  # 直线段最大长度
num_segments = 10  # 直线段数量
 
# 初始直线段位置和角度
segment_positions = np.linspace(0, AB_length, num_segments+1)
initial_angles = np.linspace(45, 90, num_segments)
 
# 定义光线追踪函数
def ray_trace(angles):
    total_ratio = 0
    for angle, position in zip(angles, segment_positions):
        # 根据入射角计算光线到达CD的比例（这里用简化的线性模型）
        ratio = min(1, CD_length / (position * np.tan(np.radians(angle))))
        total_ratio += ratio
    return -total_ratio  # 返回的是相反的比例，因为我们希望最大化比例
 
# 定义优化问题
result = minimize(ray_trace, initial_angles, method='BFGS')
 
# 输出结果
optimized_angles = result.x
print("优化后的直线段角度:")
print(optimized_angles)
 
# 计算最终的光线到达CD的比例
final_ratio = -result.fun
print("最终光线到达CD的比例:", final_ratio)

优化方案

我们可以使用优化算法来寻找最佳的波长组合，以最大化光热发电系统的能量吸收。一个常用的优化算法是遗传算法（Genetic Algorithm），它可以搜索最佳的波长组合以满足特定的优化目标。

import numpy as np
from geneticalgorithm import geneticalgorithm as ga
 
# 定义目标函数：使得能量吸收最大化
def objective_function(wavelengths):
    # 计算能量吸收
    energy_absorption = calculate_energy_absorption(wavelengths)
    # 目标是最大化能量吸收，因此返回负值以转换为最小化问题
    return -energy_absorption
 
# 定义问题的上下界
varbound = np.array([[400, 700]] * 5)  # 5个波长的范围，假设波长范围为400到700纳米
 
# 使用遗传算法进行优化
model = ga(function=objective_function, dimension=5, variable_type='real', variable_boundaries=varbound)
model.run()
 
# 输出结果
optimal_wavelengths = model.output_dict['variable']
print("Optimal Wavelengths:", optimal_wavelengths)

问题3：

1. 探讨光滑曲线的设计：

   • 考虑将直线段替换为光滑曲线，以更好地引导光线。
   • 设计光滑曲线的形状和位置，使其能够最大程度地聚焦光线到CD区间内。

2. 使用数值优化方法：

   • 借助数值优化方法，可以调整光滑曲线的形状、位置和角度，以提高反射后进入CD区间的比例。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
 
AB_length = 400    # AB长度
CD_length = 10     # CD长度
OG_height = 100    # OG高度
max_curve_length = 2.5  # 光滑曲线最大长度
num_curves = 10  # 光滑曲线数量
 
# 初始化光滑曲线位置和角度
curve_positions = np.linspace(0, AB_length, num_curves+1)
initial_angles = np.linspace(45, 90, num_curves)
 
# 定义光线追踪函数
def ray_trace(curves):
    total_ratio = 0
    for angle, position in zip(initial_angles, curve_positions):
        ratio = min(1, CD_length / (position * np.tan(np.radians(angle))))
        total_ratio += ratio
    return -total_ratio
 
# 定义优化问题并执行优化
result = minimize(ray_trace, initial_angles, method='BFGS')
 
# 输出结果
optimized_angles = result.x
print("优化后的光滑曲线角度:")
print(optimized_angles)
 
final_ratio = -result.fun
print("最终光线到达CD的比例:", final_ratio)

优化方案：

一个可能的优化方案是采用遗传算法来搜索最佳的入射角度组合

import numpy as np
from geneticalgorithm import geneticalgorithm as ga
 
# 设定光热发电能量汇聚系统的参数
AB_length = 10  # AB的长度
CD_length = 5   # CD的长度
 
# 定义函数计算光线在AB和CD之间的反射路径
def calculate_reflection_path(incident_angles):
    reflection_positions = [0]  # 起始位置
    for angle in incident_angles:
        reflection_positions.append(reflection_positions[-1] + AB_length * np.tan(angle))
        reflection_positions.append(reflection_positions[-1] + CD_length * np.tan(angle))
    return reflection_positions
 
# 定义目标函数：使得反射路径尽可能地接近给定的路径
def objective_function(incident_angles):
    num_reflections = len(incident_angles)
    calculated_path = calculate_reflection_path(incident_angles)
    target_path = [1, 3, 7, 9]  # 给定的目标路径
    return np.sum((np.array(calculated_path) - np.array(target_path)) ** 2)
 
# 定义问题的上下界
varbound = np.array([[0, np.pi/2]] * 3)  # 3个入射角度的范围
 
# 使用遗传算法进行优化
model = ga(function=objective_function, dimension=3, variable_type='real', variable_boundaries=varbound)
model.run()
 
# 输出结果
optimal_incident_angles = model.output_dict['variable']
optimal_incident_angles_degrees = np.degrees(optimal_incident_angles)
print("Optimal Incident Angles:", optimal_incident_angles_degrees)