数值分析第六章知识点总结——插值与逼近_函数的插值与逼近知识点

插值与逼近

--------本章节总体逻辑：

• 对于在实验中获得的数据来说，通常时候需要拟合成函数的形式，这样方便计算、预测等。
• 对于两个点、三个点可以采用最简单的Lagrange插值多项式的方法进行拟合，分别为线性差值多项式和抛物线插值多项式。
• 当实验数据多的时候，也就意味着需要进行插值的被插值函数的自变量很多，即n+1个不共线的点，可以通过通过插值生成n次Lagrange插值多项式。
• 但这种情况下，每增加一个点，都需要重新计算一下这n+1次的插值多项式，很不方便，基于这个，提出了通过差商表示的Newton插值多项式，这种插值多项式的形式，可以很好的实现增加一个点之后生成新的插值多项式。
• 但是无论是Lagrange插值多项式，还是Newton插值多项式的条件都是连接点处函数值相等，因此插值后的多项式很可能会出现多个不可导点，基于这种原因，提出了Hermite插值多项式。
• 但随着n的增大，多项式的次数过高，在远离插值节点的地方波动、偏差会特别大，即会出现龙格（Runge）现象。这时，我们就可以讨论分段插值的方法。
• 分段插值即是按照原n个插值节点分割成n-1个区间，对每个区间分别采用Lagrange插值多项式，Hermite插值多项式的方法。
• 分段插值虽然在计算层面有很好的提高，同时避免了Runge现象的发生，但是它很难解决插值函数不光滑的问题，这时，提出了三次样条插值多项式。
• 三次样条插值方法根据，已知条件是一阶导数、二阶导数分为了三转角方法、三弯矩方法。每种方法分别对三种补充条件（已知端点处的一阶导数、已知端点处的二阶导数、端点处的一阶导二阶导相等）分别讨论。
• 上述多种插值方法都属于对目标函数的逼近，插值方法也是要求严格的经过被插值函数的每一个节点。除了这种逼近函数的方法，还有一种逼近函数的方法——拟合。
• 最小二乘法，即是通过平方范数对函数的一种逼近，这种拟合的方法不要求严格经过被插值函数的每一个节点，只要求函数与拟合结果的函数的差值向量的平方范数达到最小值。

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--------以下为各部分具体知识点：

一、多项式插值问题

1. 定义：通过已知数据得到函数的近似解析表达式。
2. 相关概念：被插值函数、插值函数、插值节点、插值条件、插值方法
3. 性质：给定n+1个互异节点的函数值，则满足函数值相等的插值条件的n次插值多项式是唯一存在的。

二、Lagrange插值多项式

1. 线性插值多项式
   
2. 抛物线插值多项式
   
3. n次Lagrange插值多项式
   （1）为了方便多项式形式的统一表达，引入如下定义：
   
   （2）节点基函数
   
4. Lagrange插值余项
   

三、Newton插值多项式

1. 差商
   （1）定义（一阶差商，二阶差商，k阶差商）
   
   （2）性质

• k阶差商可以表示成函数值的线性组合
  
• 差商对节点具有对称性
  
• n次多项式f(x)的k阶差商，当k≤n时，是一个关于x的n-k次多项式；当k>n时，恒等于0。
• 若f(x)具有k阶连续导数，则：
  

2. Newton插值多项式
   
3. Newton插值余项与Lagrange插值余项
   

四、Hermite插值多项式

1. 定义：不仅要求在节点处函数值相同，还要求在部分或全部节点处具有相同的导数值。
2. 方法：承袭法，基函数法
   例：
   
   （1）承袭法

（2）基函数法

3. Hermite插值多项式
   
4. Hermite插值余项
   

五、分段插值多项式

根据插值条件构建插值多项式时，插值多项式的次数随着节点个数的增加而升高，而实际应用上，很少采用高于七次的插值多项式。因此，为了提高多项式的逼近精度，就需要引进分段插值方法。

1. 分段线性插值
   
2. 分段二次插值
   
3. 分段三次Hermite插值
   
4. 误差分析：
   （1）分段线性插值
   
   （2）分段二次插值
   
   （3）分段三次Hermite插值
   

六、三次样条插值多项式

1. 定义：每个小区间上S(x)为三次多项式，且二阶连续可微。在两端点各加一个条件称为边界条件。具体包括以下三种。根据初始方程的未知数不同，可分为三转角方法和三弯矩方法。
   （1）两端点的一阶导数值已知。
   （2）两端点的二阶导数值已知。
   （3）函数为周期函数，即两端点的一阶导数值、二阶导数值相等。
2. 三转角方法：未知数为一阶导数
   
3. 三弯矩方法：未知数为二阶导数
   
   
4. 不同边界条件两种方法的未知数角标

七、正交多项式

1. 定义：由线性无关函数组经过Schemite正交化过程得到的多项式称为[a,b]上的正交多项式。
   
2. 重要概念：权函数（见“1”）
3. 例题
   

八、数据拟合的最小二乘法

1. 定义：采用函数系（多项式函数系，三角函数系，指数函数系，正交多项式等）求得的拟合曲线称为多项式拟合曲线。在计算误差向量的范数时，采用2-范数的方法即为最小二乘法。
2. 计算方法：
   
   
   

九、常考题型及解题思路

1. 求插值多项式

• 套公式即可
• 或设相应的函数方程，之后代入已知点，求解系数

2. 求近似函数值，并求相应误差界

• 求插值多项式（见题型1）
• 套公式求误差界

3. Lagrange相关证明

• 想定义
• 构造函数

4. 差商相关证明

• 想数学归纳法
• 想高阶差商与拉格朗日插值余项的关系

5. 求差商表、Newton插值多项式

• 一步步求就好了

6. 求三次Hermite插值多项式

• 构造基函数
• 求相应的函数表达式

7. 最小二乘法求方程组近似解

• 构造平方和形式（向量二范数）
• 偏导等于0，求极值点及相应极值

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