动态规划之二维费用的背包模型_二维背包问题

前置知识：

01背包问题：动态规划之01背包模型_如何何何的博客-CSDN博客

完全背包问题：动态规划之完全背包模型_如何何何的博客-CSDN博客

多重背包问题：动态规划之多重背包模型_如何何何的博客-CSDN博客

二维费用背包问题：

二维费用即背包问题有两个限制条件。

例题：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M；

每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi；

输出最大价值。

输入格式：

第一行三个整数，N,V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量；

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式：

输出一个整数，表示最大价值。

思路：

该题为二维费用的01背包。f[i][j][k] 表示前 i 个物品，背包体积为 j ，承重为 k 的时候的最大价值；

在01背包基础上加上一重循环即可；

由于n*3的空间太大，所以直接使用空间优化后的01背包。

代码模板如下：

#include<iostream>
using namespace std;
 
int f[1010][1010];
int N, V, M;
 
int main() {
    cin >> N >> V >> M;
 
    int v, m, w;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> v >> m >> w;
        for (int j = V; j >= v; j--)
            for (int k = M; k >= m; k--)
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v][k - m] + w);
    }
 
    cout << f[V][M];
 
    return 0;
 
}

例题1 . 宠物小精灵之收服：

宠物小精灵之收服 - C语言网 (dotcpp.com)

二维费用的 01 背包问题，像普通 01 背包一样做就行，只是加一层循环，最后输出f[n][m]（n个球，m个体力），要输出剩下的体力值，遍历f[n][0]~f[n][m]即可。

题目要求当体力为0的时候算抓捕失败，把m-1当做m带入计算即可。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int n,m,k;//拥有的球数和体力值、精灵数
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    int a,b;//每只精灵需要的球数和照成的伤害
    for(int i=0;i<k;i++){//遍历精灵
        cin>>a>>b;
        for(int j=n;j>=a;j--)//遍历球数
            for(int u=m-1;u>=b;u--)//遍历体力
                f[j][u]=max(f[j][u],f[j-a][u-b]+1);
    }
    
    int tmp=0;
    for(int i=m;i>=0;i--)
        if(f[n][i]==f[n][m-1])tmp=i;
        
    cout<<f[n][m-1]<<" "<<m-tmp;
}

潜水员：

信息学奥赛一本通 T1271-潜水员 - C语言网 (dotcpp.com)

二维费用的 01 背包问题。f[i][j][k] 代表只看前 i 个气缸，氧气至少为 j ，氮气至少为 k 时的最大重量（注意氧气和氮气可以多）；

选第i个：

f[i][j][k] = f[i - 1][j - o2[i]][k - n2[i]]

不选第i个：

f[i][j][k] = f[i - 1][j][k]。

本题要求的是最小值， 每个状态为了不被0影响，需要把所有状态更新为INF，特别的，f[0][0][0]=0；

由于是最少需要的氧气和氮气，所以氮气和氧气超出了也是可以的，相当于背包容量不够了也是可以装当前这个物品的，在更新的时候需要额外更新一些状态，比如我们只需要5的氧气，但是当前物品的氧气为8，我们也是可以选择的，f[i][5][j] = f[i-1][0][j] + w。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int f[N][N];//o2,n2
int n, m;//o2,n2
 
int main() {
    cin >> n >> m;
    int s, o2, n2, m2;
    cin >> s;
 
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
 
    for (int i = 0; i < s; i++) {
        cin >> o2 >> n2 >> m2;
        for (int j = n; j >= 0; j--)
            for (int k = m; k >= 0; k--)
                f[j][k] = min(f[j][k], f[max(j - o2, 0)][max(k - n2, 0)] + m2);
    }
 
    cout << f[n][m];
 
    return 0;
}