【详解】手撕 一维、二维、三维差分数组原理（附图解，大数据开发入门零基础

先自我介绍一下，小编浙江大学毕业，去过华为、字节跳动等大厂，目前阿里P7

深知大多数程序员，想要提升技能，往往是自己摸索成长，但自己不成体系的自学效果低效又漫长，而且极易碰到天花板技术停滞不前！

因此收集整理了一份《2024年最新大数据全套学习资料》，初衷也很简单，就是希望能够帮助到想自学提升又不知道该从何学起的朋友。

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正文

我们知道存储矩阵往往需要很大的空间。如果题目有空间的限制，例如100M = 100 * 1024 *1024 个字节(byte)，那么对于矩阵每个元素是 4 个字节的 int型 来说，可以计算出最大的 maxn = 5120。不过，也可以像前面例题一样，不定义差分矩阵 b[][]，直接将原矩阵a[][]看成自己的差分矩阵，这样一来就能剩下一半的空间了。

    同前面一样，我们先考虑能不能直接暴力求解。可以看出，每次矩阵修改的复杂度是  




O 


( 



n 


2 



) 



O(n^2) 


O(n2)，共 m 次，总复杂度为 




O 


( 


m 


+ 



n 


2 



) 



O(m+n^2) 


O(m+n2)，肯定会 TLE。


**( 


1 


) 


二 


维 


差 


分 


的 


定 


义 




\color{Purple}(1)二维差分的定义 


(1)二维差分的定义**







     



1
2
3
4
5
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7
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50
51
52
53
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60
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64
65
66
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110

在一维差分中，原数组a[ ]是从第1个b[1]开始的差分数组 b[ ]的前缀和：a[x]= b[1] + b[2] + ··· + b[x]。

    在二维差分中，a[ ][ ]是差分数组b[ ][ ]的前缀和，即将原点坐标`(1,1)`和坐标`(i,j)`围成的矩阵中，所有的b[ ][ ]相加等于a[ i ][ j ]。我们可以把每个`b[][]`看成一个小格；在坐标`（1，1）`和`（i，j）`所围成的范围内，所有小格子加起来的总面积，等于 `a[i][j]`。如下图中，每个格子的面积是一个 b[ ][ ]，例如阴影格子是b[ i ][ j ]，它由4个坐标点组成： 





( 


i 


, 


j 


) 




\color{CadetBlue}(i, j) 


(i,j)、 





( 


i 


− 


1 


, 


j 


) 




\color{CadetBlue}(i - 1, j) 


(i−1,j)、 





( 


i 


, 


j 


− 


1 


) 




\color{CadetBlue}(i, j - 1) 


(i,j−1)、 





( 


i 


− 


1 


, 


j 


− 


1 


) 




\color{CadetBlue}(i - 1, j - 1) 


(i−1,j−1)。坐标点`(i, j)`的值是 a[ i ][ j ]，它等于坐标`(1，1)`和`(i，j)`所围成的所有格子的总面积 。


![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/a5ec5e5af0e24da89c541fe6f77b2d0e.png#pic_center)







把 


每 


个 


a 


[ 


] 


[ 


] 


看 


成 


总 


面 


积 


， 


把 


每 


个 


b 


[ 


] 


[ 


] 


看 


成 


小 


格 


子 


的 


面 


积 



把每个a[][] 看成总面积，把每个b[][]看成小格子的面积 


把每个a[][]看成总面积，把每个b[][]看成小格子的面积  
 




     



1
2
3
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245

由上图我们可以得到二维差分的定义：在二维情况下，差分就变成了相邻a[][]的"面积差’’，计算公式是：

b

[

i

]

[

j

]

=

a

[

i

]

[

j

]

−

a

[

i

−

1

]

[

j

]

−

a

[

i

]

[

j

−

1

]

a

[

i

−

1

]

[

j

−

1

]

\color{Red}b[i][j] = a[i][j] - a[i - 1][j] - a[i][j - 1] + a[i - 1][j - 1]

b[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]

    即利用上图红色大面积  





a 


[ 


i 


] 


[ 


j 


] 




\color{Maroon}a[i][j] 


a[i][j]减去两个小面积  





a 


[ 


i 


− 


1 


] 


[ 


j 


] 




\color{Turquoise}a[i- 1][j] 


a[i−1][j]、  





a 


[ 


i 


] 


[ 


j 


] 




\color{Green}a[i][j] 


a[i][j]，由于两个小面积公共的部分`a[i-1][j -1]`被减去了 2 次，故要加回来 1 次  





a 


[ 


i 


− 


1 


] 


[ 


j 


− 


1 


] 




\color{Yellow}a[i - 1][j - 1] 


a[i−1][j−1]。


**( 


2 


) 


二 


维 


区 


间 


修 


改 




\color{Purple}(2) 二维区间修改 


(2)二维区间修改**







     



1
2
3
4
5
6
7
8
9
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79
80
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195

对于一维区间修改的操作，我们只需要修改区间的两个端点的b[]值。那么相应地，在二维情况下，一块区间是一个矩阵，由4个端点，只需要修改这 4个 b[][]值即可。如下图所示，

当我们对坐标点 (x1, y1) ~ (x2, y2)所围成的区间进行修改时，对应的4个端点的操作应为：

b[x1][y1] += c; // 二维区间的起点
b[x1][y2 + 1] -= c; // 把 x看成常数，y从 y1 到 y2
b[x2 + 1][y1] -= c;// 把 y看成常熟，x从 x1 到 x2
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;// 由于前面两式把 c 减去了 2 次，故要加回 1 次

1
2
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5

1.2 例题分析

【例题1】Monitor

题意：Xiaoteng 有一个 n×m 的矩形庄稼地，为了抓到小偷，安装了 p 个监控，每个监控都有一个矩形的监视范围，左上角为 (x1,y1)，右下角为 (x2,y2)。小偷们会来偷 q 次，每次小偷们的作案地点都是一个矩形区域，左上角为 (x1,y1)，右下角为 (x2,y2)。问每次小偷们作案时，能否看到全部的小偷。

思路：将每个监控的矩形监视区域里的每个数都加上 1，都操作在差分数组上。求差分数组的前缀和得到原数组，如果原数组中的值大于 1，说明该点被多个监控覆盖，我们只需要记 1 个即可。对于小偷们每次作案的矩形区域，看监控区域是否全部覆盖（是否全是1），如果全部覆盖（作案矩形同监控矩形的值相等）则输出 YES，否则，输出NO。

AcCode

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long  LL;

int main()
{
    int n, m;
    
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        vector<vector<int>> a(n + 10, vector<int>( m + 10, 0));
        
        int k;
        scanf("%d", &k);
        while(k -- )
        {
            int x1, y1, x2, y2;
            scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
            a[x1][y1] += 1;
            a[x2 + 1][y1] -= 1;
            a[x1][y2 + 1] -= 1;
            a[x2 + 1][y2 + 1] += 1;
        }
        
        // 求差分数组的前缀和，得到原数组的值
        for(int i = 1; i <= n; i ++ )
           for(int j = 1; j <= m; j ++ )
               a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
        // 如果被该区域被监控覆盖多次，则只记一次
        for(int i = 1; i <= n; i ++ )
            for(int j = 1; j <= m; j ++ )
                if(a[i][j] > 1) a[i][j] = 1;
        
        // 对于小偷们每次作案的矩形区域，看监控区域是否全部覆盖（是否全是1）
        int p;
        scanf("%d", &p);
        while(p -- )
        {
            int x1, y1, x2, y2;
            scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
            
            int s1 = (x2 - x1 + 1) \* (y2 - y1 + 1);
            int s2 = f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1];
            
            if(s1 == s2) puts("YES");
            else puts("NO");
        }
    }
    return 0;
}

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52

3.三维差分

1.1 基本概念

    三维已是人类空间想象的一个大跨度，其差分难度较为复杂，不过没关系，下面我们将利用空间立体图来逐一理解。


**( 


1 


) 


三 


维 


差 


分 


的 


定 


义 




\color{Purple}(1)三维差分的定义 


(1)三维差分的定义**







     



1
2
3
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33
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52

元素值用三维数组 a[][][]来定义，差分数组b[][][]也是三维的。与之前低维度的差分类似，把三维差分想象成立体空间的操作。与之对应的小立方块有 8 个顶点，所以三维的区间需要修改 8 个b[][][]的值。

    在二维差分中，`a[][]` 是差分数组 `b[][]`的前缀和，即原点坐标 (1，1)和 坐标(i，j)围成的矩阵面积。







     



1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
13
14

在三维差分中，a[][][] 是差分数组 b[][][]的前缀和，即原点坐标 (1, 1, 1) 和 坐标(i, j, k)围成的立体体积。同样地，我们把每个b[][][]看成一个小立方体，在坐标(1， 1， 1) ~ (i ， j，k)所围成的空间中，所有小立体加起来的总体积即为a[i][j][k]。如下图所示，每个小立方体由 8 个端点定义。坐标点(i，j，k)的值是 a[i][j][k]; 图中小立方体的体积是差分数组 b[i][j][k]的值。

    类似的，在三维情况下，差分就变成了相邻的`a[][][]`的 ”体积差“。那么如何来写出差分的递推计算公式呢？


观察前面一、二维的前缀和我们可以发现，其前缀和规律十分吻合容斥原理。


![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/a79059b5c1d045958ee2876f347bdd24.png#pic_center)


即对于  





维 


度 


为 


t 




\color{Red}维度为 t 


维度为t 的前缀和，记 **S（t）** 为其前缀和的递推式，则我们有：  
 




S 


( 


t 


) 


= 


a 


[ 


t 


] 


+ 



∑ 



n 


= 


1 



∞ 



( 


− 


1 



) 



( 


n 


− 


1 


) 




S 


( 


[ 


t 


− 


1 


] 


的 


组 


合 


形 


式 


) 


， 



n 


  


为 


− 


1 


的 


个 


数 




S(t) = a[t]+ \sum\_{n = 1}^{∞}(-1)^{(n -1)}S( [t- 1]的组合形式)，\color{CadetBlue}n~为 -1的个数 


S(t)=a[t]+n=1∑∞​(−1)(n−1)S([t−1]的组合形式)，n 为−1的个数  
所以对于三维的差分数组`b[][][]`，其递推式如下：  
 





b 


[ 


i 


] 


[ 


j 


] 


[ 


k 


] 


= 


s 


[ 


i 


] 


[ 


j 


] 


[ 


k 


] 


− 


s 


[ 


i 


− 


1 


] 


[ 


j 


] 


[ 


k 


] 


− 


s 


[ 


i 


] 


[ 


j 


− 


1 


] 


[ 


k 


] 


− 


s 


[ 


i 


] 


[ 


j 


] 


[ 


k 


− 


1 


] 


+ 


s 


[ 


i 


− 


1 


] 


[ 


j 


− 


1 


] 


[ 


k 


] 


+ 


s 


[ 


i 


− 


1 


] 


[ 


j 


] 


[ 


k 


− 


1 


] 


+ 


s 


[ 


i 


] 


[ 


j 


− 


1 


] 


[ 


k 


− 


1 


] 


− 


s 


[ 


i 


− 


1 


] 


[ 


j 


− 


1 


] 


[ 


k 


− 


1 


] 




\color{Red}b[i][j][k] = s[i][j][k]-s[i - 1][j][k] - s[i][j - 1][k] - s[i][j][k - 1] + s[i - 1][j - 1][k] + s[i - 1][j][k - 1] + s[i][j - 1][k - 1] - s[i - 1][j - 1][k - 1] 


b[i][j][k]=s[i][j][k]−s[i−1][j][k]−s[i][j−1][k]−s[i][j][k−1]+s[i−1][j−1][k]+s[i−1][j][k−1]+s[i][j−1][k−1]−s[i−1][j−1][k−1]  
我们发现当维度为 t 的时候容斥的时间复杂度是  





2 


t 




2^t 


2t，而前缀和的总时间复杂度为  **O 


( 



n 


t 




2 


t 



) 



O(n ^t2^t) 


O(nt2t)**，即随着维度的升高，时间复杂度增大的很快，不过是可以优化到  **O 


( 



n 


t 



t 


) 



O(n^tt) 


O(ntt)** 的，但在此不展开讨论，因为在算法竞赛中很少遇到3维以上的前缀和，而对于 `t≤3`时 




O 


( 



n 


t 




2 


t 



) 



O(n ^t2^t) 


O(nt2t) 与 




O 


( 



n 


t 



t 


) 



O(n^tt) 


O(ntt)差别并不大，有兴趣的可自行查阅资料。


**( 


2 


) 


三 


维 


区 


间 


修 


改 




\color{Purple}(2) 三维区间修改 


(2)三维区间修改**







     



1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
17
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30
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38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
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193
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241
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247
248
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250
251
252
253
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256
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260
261
262
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264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
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308
309
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750
751
752

在三维情况下，我们修改的是一个立方体，有8个顶点，故我们只需要修改这8个顶点的 差分数组b[][][]的值即可。给出坐标点

(

x

1

,

y

1

)

(x1 , ~y1)

(x1, y1) ~

(

x

2

,

y

2

)

(x2 ,~y2)

(x2, y2)定义的区间，如下图所示

三

维

差

分

空

间

图

示

三维差分空间图示

三维差分空间图示
那么对应的 8个 b[][][]的修改如下：

// 前面
b[x1][y1][z1] += c; // 坐标起点
b[x2 + 1][y1][z1] -= c; // 右下顶点的右边一个点
b[x1][y1][z2 + 1] -= c; // 左上顶点的上面一个点
b[x2 + 1][y1][z2 + 1] += c; // 右上顶点的斜右上方一个点


**网上学习资料一大堆，但如果学到的知识不成体系，遇到问题时只是浅尝辄止，不再深入研究，那么很难做到真正的技术提升。**

**需要这份系统化的资料的朋友，可以添加V获取：vip204888 （备注大数据）**
![img](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/34080a46a37056e66ec908256891b961.png)

**一个人可以走的很快，但一群人才能走的更远！不论你是正从事IT行业的老鸟或是对IT行业感兴趣的新人，都欢迎加入我们的的圈子（技术交流、学习资源、职场吐槽、大厂内推、面试辅导），让我们一起学习成长！**

 
 
 
 2t，而前缀和的总时间复杂度为  **O 
 
 
 ( 
 
 
 
 n 
 
 
 t 
 
 
 
 
 2 
 
 
 t 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 O(n ^t2^t) 
 
 
 O(nt2t)**，即随着维度的升高，时间复杂度增大的很快，不过是可以优化到  **O 
 
 
 ( 
 
 
 
 n 
 
 
 t 
 
 
 
 t 
 
 
 ) 
 
 
 
 O(n^tt) 
 
 
 O(ntt)** 的，但在此不展开讨论，因为在算法竞赛中很少遇到3维以上的前缀和，而对于 `t≤3`时 
 
 
 
 
 O 
 
 
 ( 
 
 
 
 n 
 
 
 t 
 
 
 
 
 2 
 
 
 t 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 O(n ^t2^t) 
 
 
 O(nt2t) 与 
 
 
 
 
 O 
 
 
 ( 
 
 
 
 n 
 
 
 t 
 
 
 
 t 
 
 
 ) 
 
 
 
 O(n^tt) 
 
 
 O(ntt)差别并不大，有兴趣的可自行查阅资料。


 **( 
 
 
 2 
 
 
 ) 
 
 
 三 
 
 
 维 
 
 
 区 
 
 
 间 
 
 
 修 
 
 
 改 
 
 
 
 
 \color{Purple}(2) 三维区间修改 
 
 
 (2)三维区间修改**


 
 
 
 
 
      
 
 
 
 ~~~~ 
 
 
     在三维情况下，我们修改的是一个立方体，有8个顶点，故我们只需要修改这8个顶点的 差分数组`b[][][]`的值即可。给出坐标点 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 x 
 
 
 1 
 
 
 , 
 
 
   
 
 
 y 
 
 
 1 
 
 
 ) 
 
 
 
 (x1 , ~y1) 
 
 
 (x1, y1) ~  
 
 
 
 
 ( 
 
 
 x 
 
 
 2 
 
 
 , 
 
 
   
 
 
 y 
 
 
 2 
 
 
 ) 
 
 
 
 (x2 ,~y2) 
 
 
 (x2, y2)定义的区间，如下图所示


![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/a8f0aa301ae54d86b008c4ff4f0055cc.png#pic_center)


 
 
 
 
 
 三 
 
 
 维 
 
 
 差 
 
 
 分 
 
 
 空 
 
 
 间 
 
 
 图 
 
 
 示 
 
 
 
 三维差分空间图示 
 
 
 三维差分空间图示  
 那么对应的 8个 `b[][][]`的修改如下：



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// 前面
b[x1][y1][z1] += c; // 坐标起点
b[x2 + 1][y1][z1] -= c; // 右下顶点的右边一个点
b[x1][y1][z2 + 1] -= c; // 左上顶点的上面一个点
b[x2 + 1][y1][z2 + 1] += c; // 右上顶点的斜右上方一个点

网上学习资料一大堆，但如果学到的知识不成体系，遇到问题时只是浅尝辄止，不再深入研究，那么很难做到真正的技术提升。

需要这份系统化的资料的朋友，可以添加V获取：vip204888 （备注大数据）
[外链图片转存中…(img-MxnhYhP9-1713363630025)]

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