数学建模层次分析法_一致矩阵
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层次分析法
层次分析法关键还是在于一致矩阵
什么是一致矩阵
一致矩阵的性质是：
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若矩阵中每个元素 并且
a i j ∗ a j i = 1 aij * aji = 1 aij∗aji=1
则我们称该矩阵为正互反矩阵 -
若正互反矩阵满足
a i j ∗ a j k = a i k aij * ajk = aik aij∗ajk=aik
我们称其为一致矩阵
这就是一致矩阵的性质
在正常计算中，我们创建的是正互反矩阵 ，而正互反矩阵到一致矩阵是需要检验的 称之为一致性检验
层次分析法中 有如下三种计算权重方法
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算术平均法求权重
- 第一步将判断矩阵按照列的方式 每个元素/其所在列的和（归一化）
- 第二步将刚才操作好的矩阵 各列相加 按行求和的操作
- 第三步就是直接进行将每个想加后的元素/n（n是评价的参数的个数->即表示维度）
示例如下
先归一化操作
a 11 = a 11 / ∑ k = 1 n a 1 k a11 = a11 /\sum_{k=1}^{n}a1k a11=a11/k=1∑na1ka 1 = ∑ k = 1 n a n 1 a1 = \sum_{k=1}^{n}an1 a1=k=1∑nan1
第三步
w e i g h t i [ k ] = a k n weighti[k] = \frac{ak}{n} weighti[k]=nak -
第二种几何平均法算权重
- 对矩阵的元素按照行相乘得到一个新的列向量
- 将新的向量的每一个分量 进行开n此放
- 最后对该列向量进行归一化处理 即可以得到权重向量
每个数值 把自己行的数全部乘上一遍 扩展大这一列所有元素
a i 1 = ∏ k = 1 n a i k n ai1 = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}aik} ai1=nk=1∏naik
这样的权重结果计算
a i 1 = ∏ k = 1 n a i k n ∑ k = 1 n ∏ k = 1 n a i k n ai1 = \frac{ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}aik} }{\sum_{k=1}^{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}aik} } ai1=∑k=1nn∏k=1naik n∏k=1naik 和上面的的最后权重计算是相同的
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第三种特征值法计算权重
对于一致矩阵，任意两行是对应成比例的，所以它的特征值只有一个不为0 其余皆为0
且当这个特征值为n的时候 对应的特征向量为
{ 1 a 11 , 1 a 12 , . . . , 1 a 1 n } T \left \{ \frac{1}{a11},\frac{1}{a12},... ,\frac{1}{a1n} \right \} T {a111,a121,...,a1n1}T假设一致性已经通过，则需要按照如下步骤进行计算
- 求出矩阵的最大特征值 和对应的特征向量
- 对求出的特征向量进行归一化 得到需要的权重值
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由上面三种方法我们可以得到三个权重数值
其结果 我们可以选择其中的一种权重来进行计算我们的评价参数
