【AI数学】NeRF中的球面谐波函数（Spherical Harmonics）_球谐编码

球面谐波（SH）因为其良好的性质活跃在NeRF、Plenoxels、3DGS等显隐式场景表示的方法中。
问：球面谐波是什么？
答：一组基函数。可以理解为傅里叶分解的一种特殊形式，即“任何函数都可以用这组基的算术组合来近似”。
先描述一种通用情况：
假设我们有一组基数为3的完备基函数：$[e_1(x),e_2(x),e_3(x)]$
我们存在一个目标函数$f(x)$，那么$f(x)$可以用这组基函数来表达：
$$f(x)=a_1{e}_1(x)+a_2{e}_2(x)+a_3{e}_3(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$这里的$[a_1,a_2,a_3]$就是这组基的系数了。当然，我们可以用更“细致”的正交基来拟合目标函数，一般对应着更多的基数。我们可以浅看一张图：

这里的n表示基数，用的是球面谐波基。由此可见，基数越多，拟合效果越佳。

如果对数学不那么苛求的人，只需要了解SH在NeRF中的使用，本文大概能满足这一需求。

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球面谐波

球面谐波基，顾名思义，跟球面有关。

首先，我们来回顾一下极坐标的概念：用半径和角度的组合$(r,\theta )$来代替笛卡尔坐标系下的$(x,y)$。
$r(\theta )=1$表示半径为1的圆。

跟传统的笛卡尔坐标相比，极坐标天然适合处理圆的场景。那么三维极坐标就天然适合处理球面场景。
那么极坐标和球面谐波有什么关系呢？答：SH就是在极坐标下的基函数。
我们先看一下，三维极坐标是什么样子：
$$r=f(\theta ,\varphi )\text{\hspace{1em}(2)}$$

r（即图中的$\rho$）表示半径，$\theta$和$\varphi$表示观测角度。
我们通过$r=f(\theta ,\varphi )$来可视化SH基：

图3 球谐基可视化1

看起来像细胞或者某种外星生物，这也是让人觉得很不直观的地方。但换一种表达，可能大家就容易理解了（将距离用颜色来表达）：

图4 球谐基可视化2
往往在三维重建里用的多的就是图4这一种。应用场景为：对空间中一个点的颜色表达与观测它的角度有关。那么，构建出函数：
$$\mathbf{c}=f(\theta ,\varphi )\text{\hspace{1em}(3)}$$
这里不存在半径的变化，所以SH基函数也是保持球体的几何结构，不像图3中那么多异形。那么任意一个球形表面的颜色表达，可以用球谐基来分解：

我们看一下球谐基的数学表示：

$Y_l^m$表示第$l$阶的第$m$个球谐基，在NeRF中$l$的最大值通常取2或者3，而对应阶的$m$取值范围为$[-l,l]$。上面的公式群就表示2阶球谐基的一共9个球谐基，只需拟合9个系数就可以完成函数的分解。对于最近火热的3DGS，默认采用3阶球谐基，有16个球谐基。通常，RGB这3个通道都会用一组球谐基，所以通常球谐系数还要$\times 3$。

在工程实现中，会把上面的常数部分都计算出来先保存，我们观察代码可以发现。

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球面谐波与NeRF

首次将SH引入NeRF的工作是PlenOctrees。论文中较详细地描述了SH的使用。
NeRF原本的数学表达为：
$$f_{\Theta }(x,y,z;\theta ,\varphi )=(\mathbf{c},\sigma )\text{\hspace{1em}(4)}$$
这里的$f_{\Theta }$表示MLP。而经过SH编码以后的表达式变为：
$$f_{\Theta }(x,y,z)=(\mathbf{k},\sigma )\text{\hspace{1em}(5)}$$
这里的$\mathbf{k}$表示球谐系数。颜色可以由球鞋系数进一步得到：
$$\mathbf{c}=f(\mathbf{d};\mathbf{k})\text{\hspace{1em}(6)}$$

这里的k代表球谐系数，l和m分别代表球谐基的阶数和对应的基数：

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总结

在NeRF或者3DGS等三维重建技术的背后，需要对空间点（或者高斯球）的空间位置$(x,y,z)$和观测方向$(\varphi ,\theta )$进行合理表示。我们发现，空间位置$(x,y,z)$是笛卡尔坐标系下，而观测方向$(\varphi ,\theta )$是球形坐标系下，不同坐标系可以选择不同的编码方式。
对空间坐标系的编码方式常见的有多分辨率哈希编码、频率编码；
对球形坐标系的编码方式最常见的就是球谐函数编码了～（频率编码不实用的原因是编码不紧凑）；

球面谐波函数是最紧凑的球面坐标编码方式（至少是之一），任何关于$(\varphi ,\theta )$的函数都可以由球谐基的组合来表示（即公式（1）的形式）。

参考：https://www.ti.uni-bielefeld.de/html/people/ddiffert/libShc/manual/fouriertransform.html