【考研数学】高等数学第三模块——积分学 | Part IV 三重积分

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引言

我们继续积分学的第四个模块——三重积分。讲实话，这一块其实不太好理解，主要我空间想象能力不太行。不过最主要的考点应该还是计算，而且其实三重积分算到后面还是算定积分和二重积分，所以，前面的内容要先掌握好。

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一、概念与基本性质

1.1 实际问题

和二重积分很像，三重积分也是用来求解多元不规则量，下面从一个具体问题来引入。

设 $\Omega$ 为几何体，其体密度为 $\rho (x,y,z)$ ，求其质量 $m$ 。如果每个点处的密度是一样的，那么，$m=\rho V$ 。但是现在各点处的密度不一，因此我们采用微元法的思想。

（1）将几何体划分为小体积元素 $\Delta v_1,\Delta v_2,\dots ,\Delta v_n.$

（2）在小体积元素中任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\in \Delta v_i$ ，则每一小体积元素的质量为 $\Delta m_i\approx \rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$ ，整个几何体的质量可近似表示为 $$m=\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i;$$ （3）设 $\lambda =max(d_i),d_i$ 为小体积元素 $\Delta v_i$ 的直径，则该几何体精确的质量为 $$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i.$$

1.2 三重积分定义

将上述实际问题抽象出一个一般模型，可得到三重积分的定义如下：

设 $\Omega$ 为几何体，三元函数 $f(x,y,z)$ 在该几何体上有界。

（1）将几何体划分为小体积元素 $\Delta v_1,\Delta v_2,\dots ,\Delta v_n.$

（2）在小体积元素中任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\in \Delta v_i$ ，作和 $$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i;$$ （3）设 $\lambda =max(d_i),d_i$ 为小体积元素 $\Delta v_i$ 的直径，若极限 $$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i.$$ 存在，则称函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上可积。该极限的值称为函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分，记为 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv.$

1.3 三重积分的性质

一般性质和二重积分类似，区域，常数，被积函数为 1 时，积分中值定理等等。

同样，三重积分也有奇偶性和对称性。我就列举一个，其余两个是同理的。

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二、三重积分的计算方法

2.1 直角坐标法

2.1.1 切片法

这个方法我认为相当直观，设区域 $\Omega$ 表示为 {$(x,y,z)|(x,y)\in D_z,c\le z\le d$} ，如下图所示。可以像二重积分那样，作一个向右的箭头。

则有如下计算方法：$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_c^{d}dz{\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy.$$ 举个例子：计算 ${\iiint }_{\Omega }(z^2+2xy)dv$ ，其中 $\Omega$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $z=2$ 所围成的几何体，如下图所示。绿色的表示锥面，粉色的表示 $z=2$ 平面。

首先，我们同样检查对称性，发现区域是关于 $xOz$ 平面对称的，且 $-2xy=2x(-y)$ 。故原积分可以拆成两部分，第一部分为 ${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv$ 。第二部分为 ${\iiint }_{\Omega }2xydv$ ，因为对称性，第二部分为 0 。故只计算第一部分即可。

利用切片法，原区域可以表示为 {$(x,y,z)|0\le z\le 2,(x,y)\in D_z$} ，其中$D_z$ 可表示为 {$(x,y)|x^2+y^2=z^2$} 。平面区域的二重积分可采用极坐标进行简化计算，故原积分为 $$I={\int }_0^{2}dz{\iint }_{D_z}{z}^{2}dxdy={\int }_0^{2}dz{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^z{z}^{2}rdr=\frac{32\pi }{5}$$

2.1.2 铅直投影法

铅直投影法和切片法顺序是相反的，它先往 $xOy$ 平面投影，先一后二。

设区域 $\Omega$ 表示为 {$(x,y,z)|(x,y)\in D,{\phi }_1(x,y)\le z\le {\phi }_2(x,y)$} ，如下图所示。

则有如下计算方法：$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iint }_{D}dxdy{\int }_{{\phi }_1(x,y)}^{{\phi }_2(x,y)}f(x,y,z)dz.$$ 我们用这个方法，做一做上面那道例题。用此方法，则区域 $\Omega$ 可表示为 {$(x,y,z)|(x,y)\in D,0\le z\le \sqrt{x^2+y^2}$}，其中$D$ 可表示为 {$(x,y)|x^2+y^2=2^2$} 。平面区域的二重积分可采用极坐标进行简化计算，故原积分为 $$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{2}rdr{\int }_{\sqrt{x^2+y^2}}^2{z}^{2}dz=\frac{32\pi }{5}$$

2.2 球面坐标变换法

书上还说了一种啥柱面坐标法，其实就是直角坐标加了极坐标法，上面的题目咱就已经用了这种方法了，所以就不多说。我们主要看看球坐标是怎么个一回事。

球坐标主要是对原坐标系进行了一定变换，如下：$$x=rcos\theta sin\phi ,y=rsin\theta sin\phi ,z=rcos\phi .$$

这样，原来的三重积分就变成了如下的形式：$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}d\phi {\int }_{r_1(\theta ,\phi )}^{r_2(\theta ,\phi )}f(x,y,z)r^{2}sin\phi dr.$$ 关键是如何找到三个参数的范围，而要找到三个参数的范围，就得了解这三个参数都代表什么意思。下图（图源网络）可以帮助我们理解。

$r$ 是代表几何体上一点到原点距离，可以像极坐标那样，从原点画一条射线出来，看看范围。$\theta$ 表示的是 $r$ 在 $xOy$ 平面上的投影直线与 $x$ 轴的夹角。$\phi$ 表示 $r$ 与 $z$ 轴的夹角。我们用一个例题来试试。

计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dv$ ，其中 $\Omega =$ {$(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1,z\ge 0$}. 我们很容易看出，该几何体是一个上半球，半径为 1 。

通过上图，我们可以找到三个参数的范围，如下：$$0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 1$$ 则原积分可计算为 $$I={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\phi {\int }_0^1{r}^{2}si{n}^2\phi \cdot r^{2}sin\phi dr={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^3\phi d\phi {\int }_0^1{r}^{4}dr=\frac{4\pi }{15}$$

三、三重积分的应用

应用我这里不细说，放到和前面的那些应用一起放到后面的空间几何来。三重积分应用主要有：

1. 空间几何体的质心。
2. 空间几何体的转动惯量。

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写在最后

那到此，积分学的内容也将告一段落了，不过仅仅是理论部分，还需要大量的练习才能真正在考场上稳稳地拿下。