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机器学习笔记（六）-支持向量机SVM_matlab svm预测分数为什么大于1

作者：你好赵伟 | 2024-08-11 22:28:02

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matlab svm预测分数为什么大于1

原创不易，转载前请注明博主的链接地址：Blessy_Zhu https://blog.csdn.net/weixin_42555080
本次代码的环境：
运行平台： Windows
Python版本： Python3.x
IDE： PyCharm

一、前言

经常听到这样一句话：“SVM有三宝：间隔、对偶、核技巧”。支持向量机（SVM:Support Vector Machine），主要用于解决模式识别领域中的数据分类问题，属于有监督学习算法的一种。SVM的分类主要有：硬间隔（hard-margin SVM）、软间隔（soft-margin SVM）、kernel SVM。SVM可以用一个经典的二分类问题来描述要解决的问题。如下图所示：
在这里插入图片描述
可以找到一条直线，将绿色和蓝色的二维数据点分开的。然而将两类数据点分开的直线显然不止一条。如下图：

图A和图B分别给出了A、B两种不同的分类方案：其中“决策面”如黑色实线所示。这样每个决策面对应了一个线性分类器。显然这两个分类器都能达到将数据分类的目的，而且误分率为零。那到底这两个分类器哪个相对来说更好一些呢？支持向量机算法认为分类器A在性能上优于分类器B，其依据是A的分类间隔比B要大为什么呢？因为分类器B的鲁棒性较差，也就是对噪声比较敏感，当它稍微出现一点移动就会越过覆盖边界点，所以他的泛化误差没有分类器A的好，也就是说，它对未知数据的预测能力较差。所以这样就引出SVM的一个核心思想就是：找到一个超平面，是得其到所有点的距离是最大的。
接下里开始一步一步的去学习SVM吧！！！！！！！！！！！！！

二、 Hard-Margin SVM详细讲解

2.1 引出目标函数和约束

这里的数据集D，以及y的取值如下：
在这里插入图片描述

在这里，这个超平面可以用函数

当f(x) 等于0的时候，x便是位于超平面上的点，而f(x) 大于0的点对应 y=1 的数据点，也就是+1类的数据点；f(x)小于0的点对应y=-1的点，也就是-1类的数据。（注意：这里y 为了描述方便取值为{-1，+1}），通过上面的定义，我们知道，所谓的支持向量，就是使得上式等号成立，即y=1和y=-1,在两条虚边界线的向量。那么，不难理解当wTx+b的值大于+1，或小于-1的时候，就更加支持“样本的分类”了，所以可以令：
在这里插入图片描述
我们可以计算得到空间中任意样本点x到超平面的距离为：

因为yi∈{−1,1} 两个异类支持向量到超平面的距离之和（也称为“间隔”）可表示为：

接下来就是要找到一个超平面来分开两类数据这个超平面离两类样本都足够远，也就是使得“间隔”最大。即最终确定的参数w和b 使得r最大。即满足条件：
在这里插入图片描述
将||w||用矩阵表示后，等价于：

这样就得到了SVM的基本型。可以看到，上面的基本型目标函数是二次的，约束条件是线性的，这是一个凸二次规划问题（convex optimization）。
详细可能可以见一下推导过程：
在这里插入图片描述

2.2 解决凸优化问题——对偶化

解决凸优化问题可以采用“凸二次规划”，这里采用对偶化更简单。通过使用拉格朗日乘子法可以将凸优化问题转换为“对偶问题”。
对原问题这样一个有限制的问题：
在这里插入图片描述
对（1）式每一个约束（共有m个约束，yi(wTxi+b)≥1，添加拉格朗日乘子 αi≥0 ，则整个问题的拉格朗日函数可写为：

这样通过该添加拉格朗日乘子，将具有约束条件的目标函数，变成没有约束条件的问题来解决：
在这里插入图片描述
从有约束到无约束，看看这二者是否是等价的：
令：

假设，将（w,b）的数据集分为两部分：

一部分是Δ>0,一部分是Δ<0；对于（xi,yi）数据样本来说：

这样就验证了，二者是的等价的。所以优化1/2∥w∥ 2等价于优化L(w,b,α) 且约束条件αi≥0 。
于是，我们的目标函数可以表示为：
在这里插入图片描述
满足一定条件下，等价于（注意，这个满足一定条件，是指满足KKT条件），上式，后者把最小和最大的位置交换，这样使得运算方便起来。

其中，这里面使用到的对偶是强对偶：

即使上式相等的时候。

紧接着对上式继续求解。先令L(w,b,α) 对w,b 求偏导为0，可得：
在这里插入图片描述
将此两个式子带入式L(w,b,α)消去w,b ，便得到了原问题的对偶问题。

详细过程可参看一下步骤：

2.3 KKT条件进而求最终的解

这样，可以总结一下以上求的一个过程，如下图所示：
在这里插入图片描述
由带约束的原问题，通过拉格朗日乘子变为不带约束的问题，再根据强对偶关系将不带约束的问题转化为更好求的强对偶问题。通过对w,b求min，得到求得最大的λ值时的表达式：

原问题的对偶问题具有强对偶关系等价于满足KKT条件
于是，上面的过程，需要满足的KKT条件是：
在这里插入图片描述

2.4 松弛互补条件

对于任意样本，总有αi=0或者 yi(wTxi+b)=1 若αi=0 则由

知w=0, 则此αi对应的向量不会对 f(x)的确定有任何影响对应的向量不会对 f(x) 的确定有任何影响。当ai>0时，必有
在这里插入图片描述
这就是，松弛互补条件（slackness complementary）,此时αi 对应的向量在最大间隔的边缘上（一开始示意图的虚线上），即是支持向量。这也说明，最终模型的确定，只与支持向量有关。
详细过程如下：

这样就求得了所有的变量：
在这里插入图片描述

三、 Soft-Margin SVM详细讲解

在Hard-margin SVM中认为数据时立项可分的，但实际情况下，数据时不可分，或者说数据可分但其本书含有噪声的。所以这里引入了soft-Margin。它的思想是允许有一点点错误，这一点错误用loss函数来表达。关于loss函数，可以采用的思想有：

可以把违反Hard-Margin SVM的样本点的个数作为限制条件

但这个函数对于w明显是不连续的，不可用。
接下里用距离表示，这里面就要引入铰链损失函数hinge loss
如果：

如果：

则最终

如下图，这个函数明显是一个连续函数：令

详细过程如下：

如上图的式子可以看出，最终的约束条件也把距离加上了。
它的思想就是允许ξi那点误差，如下图中橙色箭头所指的平面与绿色箭头所指平面的间隔ξi。这就是允许的误差。

四、 SVM的Python验证

这个代码例子使用Hard-Margin SVM，同时数据时线性可分的

import numpy as np
import pylab as pl   #画图用
from sklearn import svm

#随机生成两组二位数据
np.random.seed(0)#使每次产生随机数不变
X = np.r_[np.random.randn(20,2)-[2,2],np.random.randn(20,2)+[2,2]]#注意这里np.r_[],而不是np.r_（）我都打错了，会报错TypeError: 'RClass' object is not callable
#np.r_是按列连接两个矩阵，就是把两矩阵上下相加，要求列数相等，np.c_是按行连接两个矩阵，就是把两矩阵左右相加，要求行数相等

Y = [0] * 20+[1] * 20#Python原来可以这么简单的创建重复的列表呀

clf=svm.SVC(kernel='linear')
clf.fit(X,Y)

w=clf.coef_[0]
a=-w[0]/w[1]
xx=np.linspace(-5,5)#产生-5到5的线性连续值，间隔为1
yy=a*xx-(clf.intercept_[0])/w[1]  #clf.intercept_[0]是w3.即为公式a1*x1+a2*x2+w3中的w3。(clf.intercept_[0])/w[1]即为直线的截距

#得出支持向量的方程
b=clf.support_vectors_[0]
yy_down=a*xx+(b[1]-a*b[0])#(b[1]-a*b[0])就是简单的算截距
b=clf.support_vectors_[-1]
yy_up=a*xx+(b[1]-a*b[0])

print("w:",w) #打印出权重系数
print("a:",a) #打印出斜率
print("suport_vectors_:",clf.support_vectors_)#打印出支持向量
print("clf.coef_:",clf.coef_)                  #打印出权重系数，还是w


#这个就是画出来而已。很简单，也不太常用，都用matplotlib去了。不多说了
pl.plot(xx,yy,'k-')
pl.plot(xx,yy_down,'k--')
pl.plot(xx,yy_up,'k--')

pl.scatter(clf.support_vectors_[:,0],clf.support_vectors_[:,0],s=80,facecolors='none')
pl.scatter(X[:,0],X[:,1],c=Y,cmap=pl.cm.Paired)

pl.axis('tight')
pl.show()
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