深入理解深度学习——注意力机制（Attention Mechanism）：位置编码（Positional Encoding）_深度学习相对位置编码器

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在处理词元序列时，循环神经网络是逐个的重复地处理词元的，而自注意力则因为并行计算而放弃了顺序操作。 为了使用序列的顺序信息，通过在输入表示中添加位置编码（Positional Encoding）来注入绝对的或相对的位置信息。 位置编码可以通过学习得到也可以直接固定得到。 接下来描述的是基于正弦函数和余弦函数的固定位置编码。

假设输入表示$X\in R^{n\times d}$包含一个序列中$n$个词元的$d$维嵌入表示。 位置编码使用相同形状的位置嵌入矩阵$P\in R^{n\times d}$输出$X+P$， 矩阵第$i$行、第$2j$列和$2j+1$列上的元素为：
p pos , 2 i = sin ⁡ ( pos 1000 0 2 i d ) p pos , 2 i + 1 = cos ⁡ ( pos 1000 0 2 i d )

$$\begin{aligned} p_{\text{pos}, 2i} &= \sin(\frac{\text{pos}}{10000^{\frac{2i}{d}}}) \\ p_{\text{pos}, 2i + 1} &= \cos(\frac{\text{pos}}{10000^{\frac{2i}{d}}}) \\ \end{aligned}$$ ppos,2i​ppos,2i+1​​=sin(10000d2i​pos​)=cos(10000d2i​pos​)​

在位置嵌入矩阵$P$中，行代表词元在序列中的位置，列代表位置编码的不同维度。从下面的例子中可以看到位置嵌入矩阵的第6列和第7列的频率高于第8列和第9列。 第6列和第7列之间的偏移量及第8列和第9列之间的偏移量正是由于正弦函数和余弦函数的交替。

可以看到，在位置编码中，当列数是偶数时，使用正弦函数；当列数是奇数时，则使用余弦函数。

绝对位置信息

为了明白沿着编码维度单调降低的频率与绝对位置信息的关系， 下面是$0,1,\cdots ,7$的二进制表示形式。正如所看到的，每个数字、每两个数字和每四个数字上的比特值在第一个最低位、第二个最低位和第三个最低位上分别交替。

0的二进制是：000
1的二进制是：001
2的二进制是：010
3的二进制是：011
4的二进制是：100
5的二进制是：101
6的二进制是：110
7的二进制是：111

在二进制表示中，较高比特位的交替频率低于较低比特位， 与下面的热图所示相似，只是位置编码通过使用三角函数在编码维度上降低频率。 由于输出是浮点数，因此此类连续表示比二进制表示法更节省空间。

相对位置信息

除了捕获绝对位置信息之外，上述的位置编码还允许模型学习得到输入序列中相对位置信息。 这是因为对于任何确定的位置偏移$\delta$，位置$i+\delta$处的位置编码可以线性投影位置$i$处的位置编码来表示。

这种投影的数学解释是，令$w_j=\frac{1}{10000^{\frac{2j}{d}}}$， 对于任何确定的位置偏移$\delta$，任何一对$(p_{i,2j},p_{i,2j+1})$都可以线性投影到 $(p_{i+\delta ,2j},p_{i+\delta ,2j+1})$：

位置编码的实例

还是以“I am good.（我很好。）”这句话为例。在RNN模型中，句子是逐字送入学习网络的。换言之，首先把“I”作为输入，接下来是“am”，以此类推。通过逐字地接受输入，学习网络就能完全理解整个句子。然而，Attention网络并不遵循递归循环的模式。因此，我们不是逐字地输入句子，而是将句子中的所有词并行地输入到神经网络中。并行输入有助于缩短训练时间，同时有利于学习长期依赖。不过，并行地将词送入Attention，将不保留词序。要理解一个句子，词序（词在句子中的位置）是很重要吗的，Attention也需要一些关于词序的信息，以便更好地理解句子。

对于给定的句子“I am good.”，我们首先计算每个单词在句子中的嵌入值。嵌入维度可以表示为$d_{\text{model}}$。比如将嵌入维度$d_{\text{model}}$设为4，那么输入矩阵的维度将是$[\text{句子长度}\times \text{嵌入维度}]$，也就是$[3\times 4]$。

假设表示“I am good.”的输入矩阵$X$如下图所示：
如果把输入矩阵$X$直接传给Attention ，那么模型是无法理解词序的。因此，需要添加一些表明词序（词的位置）的信息，以便神经网络能够理解句子的含义。所以，我们不能将输入矩阵直接传给Attention 。这里引入了一种叫作位置编码（Positional Encoding）的技术，以达到上述目的。顾名思义，位置编码是指词在句子中的位置（词序）的编码。

位置编码矩阵$P$的维度与输入矩阵$X$的维度相同。在将输入矩阵直接传给Attention 之前，我们将使其包含位置编码。我们只需将位置编码矩阵$P$添加到输入矩阵$X$中，再将其作为输入送入神经网络，如下图所示。这样一来，输入矩阵不仅有词的嵌入值，还有词在句子中的位置信息。

我们知道“I”位于句子的第0位，“am”在第1位，“good”在第2位。代入$i$值，我们得到如下结果，其中第一行为“I”的位置编码，第二行为“am”的位置编码，第三行为“good”的位置编码：
[ sin ⁡ ( 0 1000 0 0 4 ) = sin ⁡ ( 0 ) cos ⁡ ( 0 1000 0 0 4 ) ) = cos ⁡ ( 0 ) sin ⁡ ( 0 1000 0 2 4 ) = sin ⁡ ( 0 ) cos ⁡ ( 0 1000 0 2 4 ) ) = cos ⁡ ( 0 ) sin ⁡ ( 1 1000 0 0 4 ) = sin ⁡ ( 1 ) cos ⁡ ( 1 1000 0 0 4 ) ) = cos ⁡ ( 1 ) sin ⁡ ( 1 1000 0 2 4 ) = sin ⁡ ( 1 100 ) cos ⁡ ( 1 1000 0 2 4 ) ) = cos ⁡ ( 1 100 ) sin ⁡ ( 2 1000 0 0 4 ) = sin ⁡ ( 2 ) cos ⁡ ( 2 1000 0 0 4 ) ) = cos ⁡ ( 2 ) sin ⁡ ( 2 1000 0 2 4 ) = sin ⁡ ( 1 50 ) cos ⁡ ( 2 1000 0 2 4 ) ) = cos ⁡ ( 1 50 ) ]

$$\begin{bmatrix} \sin(\frac{0}{10000^\frac{0}{4}})=\sin(0) & \cos(\frac{0}{10000^\frac{0}{4}}))=\cos(0) & \sin(\frac{0}{10000^\frac{2}{4}})=\sin(0) & \cos(\frac{0}{10000^\frac{2}{4}}))=\cos(0)\\ \sin(\frac{1}{10000^\frac{0}{4}})=\sin(1) & \cos(\frac{1}{10000^\frac{0}{4}}))=\cos(1) & \sin(\frac{1}{10000^\frac{2}{4}})=\sin(\frac{1}{100})& \cos(\frac{1}{10000^\frac{2}{4}}))=\cos(\frac{1}{100})\\ \sin(\frac{2}{10000^\frac{0}{4}})=\sin(2) & \cos(\frac{2}{10000^\frac{0}{4}}))=\cos(2) & \sin(\frac{2}{10000^\frac{2}{4}})=\sin(\frac{1}{50})& \cos(\frac{2}{10000^\frac{2}{4}}))=\cos(\frac{1}{50})\\ \end{bmatrix}$$ ​sin(1000040​0​)=sin(0)sin(1000040​1​)=sin(1)sin(1000040​2​)=sin(2)​cos(1000040​0​))=cos(0)cos(1000040​1​))=cos(1)cos(1000040​2​))=cos(2)​sin(1000042​0​)=sin(0)sin(1000042​1​)=sin(1001​)sin(1000042​2​)=sin(501​)​cos(1000042​0​))=cos(0)cos(1000042​1​))=cos(1001​)cos(1000042​2​))=cos(501​)​ ​

最终的位置编码矩阵$P$如下：
P = [ 0 1 0 1 0.841 0.54 0.01 0.99 0.909 − 0.416 0.02 0.99 ] P =

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 0.841 & 0.54 & 0.01 & 0.99\\ 0.909 & -0.416 & 0.02 & 0.99\\ \end{bmatrix}$$ P= ​00.8410.909​10.54−0.416​00.010.02​10.990.99​ ​

只需将输入矩阵$X$与计算得到的位置编码矩阵$P$进行逐元素相加，并将得出的结果作为输入矩阵送入编码器中。让我们回顾一下编码器架构。下图是一个编码器模块，从中我们可以看到，在将输入矩阵送入编码器之前，首先要将位置编码加入输入矩阵中，再将其作为输入送入编码器。

参考文献：
[1] Lecun Y, Bengio Y, Hinton G. Deep learning[J]. Nature, 2015
[2] Aston Zhang, Zack C. Lipton, Mu Li, Alex J. Smola. Dive Into Deep Learning[J]. arXiv preprint arXiv:2106.11342, 2021.