基于Frank Wolfe算法，求解交通分配UE模型（Python & NetWorkX）_beckmann 提出的ue状态下的优化模型

目录

一、用户均衡模型简略介绍       

1.1 Wardrop第一原理

1.2 用户均衡模型

1.3 BPR函数 

1.4 用户均衡模型的积分项

 二、Frank Wolfe算法求解步骤

三、代码

3.1 导入必要的库

 3.2 构建交通网络

3.3 绘制交通路网图

3.4 定义BPR函数

3.5 初始化路网流量

3.6 获取 flow_temp

3.7 获取下降方向descent

3.8  定义目标函数

3.9 一维搜索最优步长，并更新流量

3.10 主函数

四、所用文件

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一、用户均衡模型简略介绍       

1.1 Wardrop第一原理

•  道路的利用者，都确切知道网络的交通状态，并试图选择最短路径
• 当网络达到平衡状态时，每个OD对的各条被使用的路径，行驶时间相等，且行驶时间最短
• 没有被使用的路径的行驶时间大于或等于最小行驶时间

1.2 用户均衡模型

        满足Wardrop第一原理的交通分配模型，称为用户均衡模型。

        1956年Beckmann提出了一种满足Wardrop第一原理的数学规划模型。模型核心是，交通网络中的用户，都试图选择最短路径，而最终使得被选择的路径的阻抗最小且相等。该数学规划模型为：

1.3 BPR函数 

        在用户均衡模型中，为路阻函数，我们一般采用BPR函数，即：

• ，表示最快通过路段a的时间；
• α常取0.15，β常取4.0 ；
• ，表示路段a的通行能力；
• ，表示路段a的流量

1.4 用户均衡模型的积分项

        为便于后续求解，我们将BPR函数代入，进行积分计算，过程如下：

        因此，我们的目标函数为：

        当然，系统最优模型，是与用户均衡模型相通的。对于系统最优模型，其目标函数表达式为

 二、Frank Wolfe算法求解步骤

        友情提醒：后面若对代码主体逻辑有疑惑，返回看看这部分。

        步骤1：初始化。基于零流图的路阻，依次搜索每一个OD对 r,s 所对应的最短路径，并将 r,s 间的OD流量，全部分配到对应的最短路径上，得到初始路段流量，并令迭代次数n=1。

        步骤2：更新路阻。根据BPR函数，分别代入每个路段的初始流量，求得阻抗

        步骤3：下降方向。基于阻抗，按照步骤1中的方法（最短路全有全无分配），将流量重新分配到对应路径上，得到临时路段流量，进而得到

        步骤4：搜索最优步长，并更新流量。采用二分法，搜索最优步长，并令。其中，最优步长满足：

        步骤5：结束条件。如果，则算法结束；否则n=n+1，转至步骤2。此处的e 表示误差阈值，在代码部分用max_err表示。

三、代码

        代码基于Python的NetWorkX库编写，这样将大大减少我们代码编写的工作量，并且更易于阅读。我们以SiouxFalls交通网络为例，进行交通网络构建与流量分配。

3.1 导入必要的库

import pandas as pd
import numpy as np
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar

• pandas，用于读取文件；
• numpy在计算误差时使用；
• networkx贯穿整个代码；
• matplotlib用于绘制交通网络图
• scipy在搜索最优步长时用到。

 3.2 构建交通网络

def build_network(Link_path, Node_path):
    # 读取点数据、边数据
    links_df = pd.read_csv(Link_path)
    # 需要注意使用from_pandas_edge，其读取的边的顺序和csv中边的顺序有差异
    G = nx.from_pandas_edgelist(links_df, source='O', target='D', edge_attr=['FFT', 'Capacity'], create_using=nx.DiGraph())
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_temp')
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_real')
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'descent')
    nx.set_edge_attributes(G, nx.get_edge_attributes(G, "FFT"), 'weight')
 
    # 获取节点位置信息
    nodes_df = pd.read_csv(Node_path)
    node_positions = {}
    for index, row in nodes_df.iterrows():
        node_positions[row['id']] = (row['pos_x'], row['pos_y'])
    # 更新图中节点的位置属性
    nx.set_node_attributes(G, node_positions, 'pos')
    return G

• Link_path，表示路网文件路径。下载链接见文末，数据示例如下：

• Node_path，表示节点文件路径。下载链接见文末，数据示例如下：

• flow_real，表示每次迭代更新后的路段流量或初始化流量，所有路段的flow_real组成
• flow_temp， 所有路段的flow_temp组成
• descent，表示flow_temp与flow_real的差值，所有路段的descent组成
• weight，表示路阻。初始的路阻，由于路段流量都是0，所以直接用FFT。后续将用BPR函数计算

3.3 绘制交通路网图

def draw_network(G):
    pos = nx.get_node_attributes(G, "pos")
    nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=200, node_color='lightblue', font_size=10, font_weight='bold')
    plt.show()

         构建交通网络后，我们来看一看这个SiouxFalls网络长什么样子吧

3.4 定义BPR函数

def BPR(FFT, flow, capacity, alpha=0.15, beta=4.0):
    return FFT * (1 + alpha * (flow / capacity) ** beta)

• FTT，表示最快通过时间；
• flow，表示路段流量；
• capacity，表示路段通行能力；
• alpha和beta，是BPR函数的参数，在此取默认值。

3.5 初始化路网流量

def all_none_initialize(G, od_df):
    # 这个函数仅使用一次，用于初始化
    # 在零流图上，按最短路全有全无分配，用于更新flow_real
    for _, od_data in od_df.iterrows():
        source = od_data["o"]
        target = od_data["d"]
        demand = od_data["demand"]
        # 计算最短路径
        shortest_path = nx.shortest_path(G, source=source, target=target, weight="weight")
        # 更新路径上的流量
        for i in range(len(shortest_path) - 1):
            u = shortest_path[i]
            v = shortest_path[i + 1]
            G[u][v]['flow_real'] += demand
    # 初始化流量后，更新阻抗
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        data['weight'] = BPR(data['FFT'], data['flow_real'], data['Capacity'])

        这个函数仅使用一次，用于初始化。在零流图上，按最短路全有全无分配，用于得到。

• od_df表示pd.Dataframe数据格式的OD流量信息。ODParis.csv示例数据如下：

3.6 获取 flow_temp

        flow_temp，即

def all_none_temp(G, od_df):
    # 这个是虚拟分配，用于得到flow_temp
    # 每次按最短路分配前，需要先将flow_temp归零
    nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_temp')
    for _, od_data in od_df.iterrows():
        # 每次更新都得读OD，后面尝试优化这个
        source = od_data["o"]
        target = od_data["d"]
        demand = od_data["demand"]
        # 计算最短路径
        shortest_path = nx.shortest_path(G, source=source, target=target, weight="weight")
        # 更新路径上的流量
        for i in range(len(shortest_path) - 1):
            u = shortest_path[i]
            v = shortest_path[i + 1]
            # 更新流量
            G[u][v]['flow_temp'] += demand

3.7 获取下降方向descent

        descent，即

def get_descent(G):
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        data['descent'] = data['flow_temp'] - data['flow_real']

3.8  定义目标函数

def objective_function(temp_step, G):
    s, alpha, beta = 0, 0.15, 4.0
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        x = data['flow_real'] + temp_step * data['descent']
        s += data["FFT"] * (x + alpha * data["Capacity"] / (beta + 1) * (x / data["Capacity"]) ** (beta + 1))
    return s

        该部分代码，对应本文1.4部分的目标函数，即：

        如果需要求解系统最优模型，则目标函数为

        代码则需替换为：

def objective_function(temp_step, G):
    s, alpha, beta = 0, 0.15, 4.0
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        x = data['flow_real'] + temp_step * data['descent']
        s += x * BPR(data["FFT"], x, data["Capacity"])
    return s

3.9 一维搜索最优步长，并更新流量

def update_flow_real(G):
    # 这个函数用于调整流量，即flow_real，并更新weight
    best_step = get_best_step(G)  # 获取最优步长
    for _, _, data in G.edges(data=True):
        # 调整流量，更新路阻
        data['flow_real'] += best_step * data["descent"]
        data['weight'] = BPR(data['FFT'], data['flow_real'], data['Capacity'])
 
 
def get_best_step(G, tolerance=1e-4):
    result = minimize_scalar(objective_function, args=(G,), bounds=(0, 1), method='bounded', tol=tolerance)
    return result.x

3.10 主函数

def main():
    G = build_network("Link.csv", "Node.csv")  # 构建路网
    draw_network(G)  # 绘制交通路网图
    od_df = pd.read_csv("ODPairs.csv")  # 获取OD需求情况
    all_none_initialize(G, od_df)  # 初始化路网流量
    print("初始化流量", list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
 
    epoch = 0  # 记录迭代次数
    err, max_err = 1, 1e-4  # 分别代表初始值、最大容许误差
    f_list_old = np.array(list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
    while err > max_err:
        epoch += 1
        all_none_temp(G, od_df)  # 全有全无分配，得到flow_temp
        get_descent(G)  # 计算梯度，即flow_temp-flow_real
        update_flow_real(G)  # 先是一维搜索获取最优步长，再调整流量，更新路阻
 
        # 计算并更新误差err
        f_list_new = np.array(list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))  # 这个变量是新的路网流量列表
        d = np.sum((f_list_new - f_list_old) ** 2)
        err = np.sqrt(d) / np.sum(f_list_old)
        f_list_old = f_list_new
 
    print("均衡流量", list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
    print("迭代次数", epoch)
    # 导出网络均衡流量
    df = nx.to_pandas_edgelist(G)
    df = df[["source", "target", "flow_real"]].sort_values(by=["source", "target"])
    df.to_csv("网络均衡结果.csv", index=False)
 
 
if __name__ == '__main__':
    main()

• epoch，表示迭代次数
• err，表示误差初始值
• max_err，表示最大容许误差
•  f_list_new, f_list_old分别表示和，用于计算误差

四、所用文件

        下载链接：交通分配