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在图论中,拓扑排序(Topological Sorting)是一个有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件:
有向无环图(DAG)才有拓扑排序,非DAG图没有拓扑排序一说。
例如,下面这个图:
它是一个 DAG 图,那么如何写出它的拓扑排序呢?这里说一种比较常用的方法:
于是,得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。
通常,一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。
拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。
比如,如果用一个DAG图来表示一个工程,其中每个顶点表示工程中的一个任务,用有向边表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中,任意两个任务要么具有确定的先后关系,要么是没有关系,绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)。
根据上面讲的方法,我们关键是要维护一个入度为0的顶点的集合。
图的存储方式有两种:邻接矩阵和邻接表。这里我们采用邻接表来存储图,C++代码如下:
- #include<iostream>
- #include <list>
- #include <queue>
- using namespace std;
-
- /************************类声明************************/
- class Graph
- {
- int V; // 顶点个数
- list<int> *adj; // 邻接表
- queue<int> q; // 维护一个入度为0的顶点的集合
- int* indegree; // 记录每个顶点的入度
- public:
- Graph(int V); // 构造函数
- ~Graph(); // 析构函数
- void addEdge(int v, int w); // 添加边
- bool topological_sort(); // 拓扑排序
- };
-
- /************************类定义************************/
- Graph::Graph(int V)
- {
- this->V = V;
- adj = new list<int>[V];
-
- indegree = new int[V]; // 入度全部初始化为0
- for(int i=0; i<V; ++i)
- indegree[i] = 0;
- }
-
- Graph::~Graph()
- {
- delete [] adj;
- delete [] indegree;
- }
-
- void Graph::addEdge(int v, int w)
- {
- adj[v].push_back(w);
- ++indegree[w];
- }
-
- bool Graph::topological_sort()
- {
- for(int i=0; i<V; ++i)
- if(indegree[i] == 0)
- q.push(i); // 将所有入度为0的顶点入队
-
- int count = 0; // 计数,记录当前已经输出的顶点数
- while(!q.empty())
- {
- int v = q.front(); // 从队列中取出一个顶点
- q.pop();
-
- cout << v << " "; // 输出该顶点
- ++count;
- // 将所有v指向的顶点的入度减1,并将入度减为0的顶点入栈
- list<int>::iterator beg = adj[v].begin();
- for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)
- if(!(--indegree[*beg]))
- q.push(*beg); // 若入度为0,则入栈
- }
-
- if(count < V)
- return false; // 没有输出全部顶点,有向图中有回路
- else
- return true; // 拓扑排序成功
- }
测试如下DAG图:
- int main()
- {
- Graph g(6); // 创建图
- g.addEdge(5, 2);
- g.addEdge(5, 0);
- g.addEdge(4, 0);
- g.addEdge(4, 1);
- g.addEdge(2, 3);
- g.addEdge(3, 1);
-
- g.topological_sort();
- return 0;
- }
输出结果是 4, 5, 2, 0, 3, 1。这是该图的拓扑排序序列之一。
每次在入度为0的集合中取顶点,并没有特殊的取出规则,随机取出也行,这里使用的queue
。取顶点的顺序不同会得到不同的拓扑排序序列,当然前提是该图存在多个拓扑排序序列。
由于输出每个顶点的同时还要删除以它为起点的边,故上述拓扑排序的时间复杂度为。
另外,拓扑排序还可以采用 深度优先搜索(DFS)的思想来实现,详见《topological sorting via DFS》。
参考博客:http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45543451
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