线性代数【21】特征值和特征向量的几何意义_特征值 几何

前言：线性变换最关键的是你要将矩阵看成是线性变换，

---

1 引子：

讨论一个二维空间里的一个线性变换，将基向量【^i】变换到(3,0),【^j】向量变换到(1,2)。 

如果用矩阵表述，就是如下的两列组成的。

【案，我们看后面这个背景的网格，表述新的基向量所张成的空间格局，这个网格的横坐标是原来单位的3倍，而纵坐标是原来的两倍】

这个矩阵可以看成是一个线性变换，他对一个向量的作用就是，这个向量最后能够SPAN（张成）的空间 

---

【案，我们现在回到原来那个等距离的单位空间，看网格】 

【这时候，我们有一个特定的向量，用黄色标示】

这个黄色的向量，他张成的空间：是一个通过原点和向量尖端的直线，如下图：

大部分向量变换，离开了他张成的空间：

【案，下图显示，黄色的向量，在新的变换后的空间里面，和原来的那个张成的直线已经不匹配了，也就是已经偏离了之前等单位的基向量的那个变换后的直线，也就是那个空间】

但是，确实有些向量留在了他原来张成的空间里面：

【案，就是有些位置的黄色向量，变换后应该也可能和原来那个紫色的直线的方向还是一致的】

如下图这个黄色的向量：

【上图，就显示了一个变换后，依旧落在紫色直线位置的一个特定向量】

 【对这个向量而言，矩阵带来的变化仅仅是拉伸或者压缩而已，如同一个标量】 

再比如：

基向量【i^】他张成的空间就是一个X轴，【案，对基向量i来说，他在当前的矩阵变换后的空间里面依旧还是在x轴上的直线上】

 只是，本例他扩大了3倍【案，看网格的示意图】

而且，由于是线性变换，X轴上所有的向量，都只是拉伸了3倍，他们都留在了张成的X轴上面，如下图：

此外，有另外一个隐含的向量[-1,1]，也和基向量一样，留在了自己张成的空间里面：

在上面这个线性变换里面，他被拉伸为原来的2倍

同理，这个对角线上所有的向量，也都张成到一个空间没变，因为他们只是拉伸到原来的两倍：

---

2 几何定义特征值和特征向量【定义来了】

以上，所有这些特殊的没有变化到张成空间外的向量就是特征向量，他们对应所属的值就是特征值：如图：刚才讨论的X轴，和斜线上的所有的向量。

 特征值如何定义呢？就是衡量特征向量在变换中拉伸或者压缩的比例的因子：

比如，刚才X轴上拉伸了3倍，而斜线上拉伸了2倍。

【案，上面的例子特征值都是正的，其实也可以说负的，如何几何解释负的特征值呢？】

特征值也有负数，表述为向量被反向拉伸或者压缩：

 

【案，注意黄色向量，变换前，后的方向的改变情况】

【虽然，这个向量的方向反了，而且被压缩了，但是他还是在原来那个直线上】

也就是，他始终停留在拉伸或者压缩的张成空间里面，这里是一条直线：

---

 3 特征向量的几何用处：

上小节，我们理解到，所谓特征向量，就是这么一种特殊属性的向量，他在某一个线性变换后，保持了原来的几何的张成的特性。那么在，3D的世界里面，这个张成的特性，一般为一个立体的空间的特性。

3.1 3D Rotation:

 找到特征向量，实际上就是找到了旋转轴：0

【特征向量=旋转轴，特征值Eigenvalue应该为1，保证他只是旋转】

比起理解3x3的矩阵，上面的旋转度图形，显得这样更加直观：

比如：

等价于：

 

【小结】推而广之，

线性变换矩阵，可以理解为一组由列构成的基向量的基变换， 

理解线性变换的关键，是你的特定的坐标系：

然而，更好的办法，时候是依赖于特征方程和特征向量：

---

4 用符号运算来进一步理解特征值，特征向量

特征值特征方程计算要点：

 

【案，也就是求等式成立的V,λ值，这个转换很重要，因为他把两种不同类型的计算链接起来，

也就是不同维度的东西搞在了一起】

【案，对比一下，之前纯数学的定义和现在几何表述的定义对比】

 

【几何表述，意义是，通过满足这个等式下，求解λ和V,】 

 【在这个等式，左边是矩阵和向量的乘积，而右边是向量的数乘积，这在格式上有的问题， 如果我们乘以一个不改变任何特征的单位矩阵，这样就可以吧计算联系起来】

 

【案，因为矩阵的每个列，我们现在理解为一个基向量，然后，每个基向量只是乘以λ，这样符合我们等式的要求】

 【案，这里要注意点就是，矩阵的列为变换后的基向量，对角元都是λ，其余为0】

 【 由于矩阵和数是不能进行计算的，这里常数λ需要乘以一个单位I【也可以写成E】阵然后进行计算。】

 也就是：

 

 

对我们自己的变化的例子，那么，这个矩阵就变成了，

 

然后，要找一个向量V，让他和这个矩阵相乘等于0.

当然，如果V=0，这个等式满足，但是这个不是我们要的，我们要找到不等于0的V向量。【非零向量】也就是左乘的这个矩阵要等于0，而之前我们已经知道，矩阵为零，表述是向量空间维度的降维打击【空间压缩】，比如，从一个二维空间到一个直线【几何表述是这样】

 

 【只有，矩阵代表的线性变换将向量空间压缩到原来的更低纬度，或者说他的系数行列式不是满秩的时候，会存在一个非零向量，使得矩阵和他的乘积为零向量。】

---

【举例】

比如，二维到一条直线：

 例一：

【如果，λ=0，也就是这个变换的不变换，我们知道，他的行列式就是一个平行四边形面积=4】

【然后，我们开始变换λ的值，这时候，行列式的值也相应开始变化】

 

 

 

 

 

【案，注意观察背景网格的变化，在本例这个变换矩阵条件下，直到λ=1，时候，之前的变换恒等式的左乘的行列式为0，而为0，的几何意义，就是向量空间被降维压缩了】 

也就是存在：

 一个非零向量V，使得

 

也就是

也就是：

 也就是：

也就是

【我们找到了一个非零向量V是A变换的一个特征向量，而1是特征值】

也就是

【我们找到了一个非零向量V，他变换后，停留在他张成的空间里面，他的几何特征值不变，比如，依旧在某个直线上，比如，依旧是某个轴上旋转度体积的表述】

 而，本例中，λ=1，也就是他其实位置还是原来的固定位置没有伸缩。

【案，小结，并回到我们刚才对符号运算的理解上】

 

---

 5 快速再理解一下我们的例子

我们有一个矩阵的列是：

我们要求解一个特征值，乘以一个单位矩阵和这个特征值的行列式为0 ，也就是有如下：

也就是变成了求解一个二次多项式：

我们然后，代入验证一下：

变成了求解非零向量【黄色的X,Y】来满足如下的方程。

 

然后，我们可以通过求解线性方程组来解出X,Y的值，也就求出来对于的非零特征向量了。

如果我们去求解，会发现，所有的向量解都在向量（-1,1）张成的直线（对角线）上，

其实，这些黄色的特征向量就是在变换A下，被拉伸了两倍：【案，看网格图比较直观】

---

6 没有特征向量的几何意义： 

 【注意，二维的线性变换，可能没有特征向量，这个几何意义如何？】

举例：

做一个90度的旋转 ，他就没有特征向量，因为每一个向量都旋转了，并且，显然离开了原来的张成空间。

如果从计算考虑，

 

 

我们只能得到虚数：

【没有实数解，表述他也没有特征向量】复平面除外，

 

---

7 剪切变换：

7.1 例一

 i不变，j向右移动一格，

可知，所有X轴上的向量都是特征向量，特征值为1，也就是他们的位置固定，而这些是唯一的特征向量。

 

这里特征值只能为1,

 7.2 例二

 

这个例子，整个平面的向量都是特征向量，而且特征值都是2。

---

 8 特征基

 举例：【对角线矩阵如下，他的性质如何？】

 

【对角线矩阵】所有的基向量，都是特征向量，而特征值就是对角元。

 = 

=

=

如果基向量就是特征向量那是最好的结果，

大多数情况下，如果能找能够表征你的向量空间的特性的足够多的的特征向量，多大你可以在一个张成的空间里面搞出一个可以解决问题的集合，也是很好的事情。

【提问，那么我们是否可以进行转化呢？】

如果我们有很多特征向量，例如：

例如，如上图，之前讨论过的，在数轴上，和对角线上都是特征向量。

 如果，这些向量多到可以选出一个张成全空间的集合，我是不是就可以直接通过基变换，把这些特征向量变换为基向量，这边不就得到了我们之前的最佳情况，基向量就是特征向量了？

 

如果，

第一步，取出你想用为新的基向量的特征向量坐标，

例如，我们知道的两个特征向量：

（-1,1），（1,0） 

第二步，我们用这两个家伙，做一个矩阵

这个就是我们的基变换矩阵，

 用他右乘之前的线性变换，就把之前的线性变换搞成了，以这两个特征向量为基向量的特征变换。

第三步，用这个基变换矩阵，和他的逆矩阵，左右乘原来的线性变换【基变换定义】

然后，我们用这个矩阵去变换我们要求解的向量，

 案，这里看一下上一节内容：

 这样做的结果就是，我们在特征向量为基向量的空间去进行变化，可以极大的降低技术复杂度。

因为，这个变换的结果一定是一个对角阵，原因是，在新的基向量空间，这个变换，变成了对单位向量的缩放。

 

 一组基向量构成的集合就是特征基。

现在，再计算：

先把他变换成特征基，然后，变回原来的坐标系即可。

---

齐次线性方程组和行列式的关系知识：

---

参考：

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=14

---

词汇：

1 Eigenvectors and Eigenvalues                特征值和特征向量

2 Unaltered matrix                                        原始矩阵

3 Eigen                                                         特征

4 Quadratic polynomial                                二次多项式

5 shear                                                        剪切变化

6 eigenbasis                                                特征基

7 Diagonal                                                   对角线

8 Diagonal entries                                       对角元