算法49：动态规划专练(力扣1139题：最大正方形面积)

题目：

给你一个由若干 0 和 1 组成的二维网格 grid，请你找出边界全部由 1 组成的最大 正方形 子网格，并返回该子网格中的元素数量。如果不存在，则返回 0。

示例 1：

输入：grid = [[1,1,1],[1,0,1],[1,1,1]]
输出：9

示例 2：

输入：grid = [[1,1,0,0]]
输出：1

这一题与算法48有点相似，但是它不能用单调栈解决这个问题。也不能用算法48的动态规划思想来解决。因为这一题是以全部为1的边组成的最大面积。也就是说中间是可以为0的。式例1就是最好的说明。

上一题用了单调栈、动态规划、暴力解。而这一题已经把前两种可能性已经排除掉了。只剩下暴力解了。那么，暴力解如何来解决这一题呢？

1. 正方形有4个顶点、4条边。只要验证每条边是否全部为1就可以了

2. 每增加一行一列，就验证新增的这些边是否全部为1就可以。如果验证不通过，没关系，继续往后验证。因为，当前新增的边并不一定就是最终的正方形边长，如果它只是最大正方形内部的一些元素而已，那我们根本不关注它是否为0.   

3. 需要注意的是，正方形的上方边和左方边出现了0， 那就不能继续去判断了。因为一点正方形的左上方顶点一旦确定，那上方边长和左方边长就已经确定了延长的方向了。但是，右侧的边和下方的边是要全部遍历完，才能最后确定的。

package code04.动态规划专项训练02;
 
/**
 * 力扣 1139  最大的以1为边界的正方形
 * https://leetcode.com/problems/largest-1-bordered-square/
 */
public class Largest1BorderedSquare_04_leetcode1139暴力解 {
 
    public int largest1BorderedSquare( int[][] matrix) {
 
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return 0;
        }
 
        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;
        //全局正方形最大边长
        int maxSide = 0;
        for (int i = 0; i < row ; i++) {
            //当前行的每一列都作为正方形的左上角，即起始点
            for (int j = 0; j < col; j++) {
                //当前格子是否为1,为1才可能成为正方形的起始点
                if (matrix[i][j] == 0) {
                    continue;
                }
                //整个二维数组中，重要有1出现，那正方形边长至少为1
                if (maxSide == 0) {
                    maxSide = 1;
                }
 
                //行边长，列边长，两者取小。因为是正方形
                int p = Math.min(row - i, col - j);
                //当前单元格 matrix[i][j] 开始的最大正方形边长
                int tempMaxSide = 1;
                boolean flag = true;
 
                //从i,j开始 到 i+index,j+index 范围内。全部都为1，才能验证通过
                //start为默认边长，默认边长为1. 因为matrix[i][j] == 1
                for (int count = 1; count < p; count++) {
                    //上方边长    matrix[i][j+count] == '0'
                    //左方边长    matrix[i + count][j] == '0'
                    if (matrix[i][j+count] == 0
                            || matrix[i + count][j] == 0) {
                        break;
                    }
 
 
                    int addCol = j + count;
                    int addRow = i + count;
 
                    //新增的行和列，不是全部范围
                    for (int m = 1; m <= count; m++) {
                           //下方边长 matrix[addRow][j + m]
                           //右方边长 matrix[i + m][addCol] == '0'
                           if (matrix[addRow][j + m] == 0
                                   || matrix[i + m][addCol] == 0) {
                               flag = false;
                           }
                    }
 
                    if (flag) {
                        tempMaxSide = Math.max(tempMaxSide, count + 1);
                    }
                    else {
                        //即使右边长、下方边长遇到0. 继续放行验证。
                        //因为当前边长有可能不是最终正方形的边界
                        flag = true;
                    }
                }
 
                /**
                 * 以当前单元格 matrix[i][j] 边长扩展完毕，
                 * tempMaxSide  以matrix[i][j] 为正方形左上顶点的最大边长为
                 * maxSide     整个区域之前最大正方形边长为
                 */
                maxSide = Math.max(maxSide, tempMaxSide);
            }
        }
        return maxSide * maxSide;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        Largest1BorderedSquare_04_leetcode1139暴力解 ss = new Largest1BorderedSquare_04_leetcode1139暴力解();
 
        //int[][] matrix = {{1,1,1}, {1,0,1},{1,1,1}};
        int[][] matrix = {{1,1,1}, {1,1,0},{1,1,1},{0,1,1},{1,1,1}};
        System.out.println(ss.largest1BorderedSquare(matrix));
    }
}

虽然只是暴力解，但是它只花费了5毫秒，胜率86%，已经相当的nice了。

那么，这一题是否有动态规划解法呢，答案是有。

下面来说一下动态规划的思路，以事例1为案例进行分析。

原始数组：

由下往上，推算每个单元格距离底部的距离。遇到1就累加，遇到0就是0.

每个单元格下方1的数量：

从右往左，推算出每个单元格右侧1的数量：

1.  原始数组的0行0列为1，那么右侧有3个1， 下方也有3个1.  正方形的边长必须相等，因此两者取小。 也就是说，如果以原始数组0行0列为正方形的左顶点，那么这个正方形的最大边长肯定是小于等于3的。

2.  然后就是遍历了。最大长度为1，为2，为3，逐步验证。最终确定，最大正方形的的边长，到底是多少。

3. 在步骤1讨论的过程中，我们依旧确定了正方形上方边、左侧边的边长了。那么，下方的边、右侧的边也需要验证的。下方的边，可以通过左下方的顶点右侧1的数量来确定，必须大于步骤2讨论的边长。右侧的边可以通过正方形右上方的顶点来确定，右上方的顶点下方1的数量大于等于步骤2讨论的边长即可。

动态规划代码：

package code04.动态规划专项训练02;
 
/**
 * 力扣 1139  最大的以1为边界的正方形
 * https://leetcode.com/problems/largest-1-bordered-square/
 */
public class Largest1BorderedSquare_04_leetcode1139动态规划 {
 
    //统计每个单元格，右侧连续有几个1；下方连续有几个1；
    public void preHandle(int[][] matrix, int[][] rightArr, int[][] bottomArr)
    {
        int rowLength = matrix.length;
        int colLength = matrix[0].length;
 
        bottomArr[rowLength-1][colLength-1] = matrix[rowLength-1][colLength-1];
        rightArr[rowLength-1][colLength-1] = matrix[rowLength-1][colLength-1];
 
        //最后一行.
        for  (int i = colLength - 2; i >= 0; i--) {
            //距离底部有几个1
            bottomArr[rowLength - 1][i] = matrix[rowLength - 1][i];
            //距离右侧有几个1
            rightArr[rowLength - 1][i] = matrix[rowLength - 1][i] == 0 ? 0 : matrix[rowLength - 1][i] + rightArr[rowLength - 1][i + 1];
        }
 
        //最后一列
        for  (int i = matrix.length - 2; i >= 0; i--) {
            //距离底部有几个1
            bottomArr[i][colLength - 1] = matrix[i][colLength - 1] == 0 ? 0 : matrix[i][colLength - 1] + bottomArr[i + 1][colLength - 1];
            //距离右侧有几个1
            rightArr[i][colLength - 1] = matrix[i][colLength - 1];
        }
 
 
        for  (int i = matrix.length -2; i >= 0; i--) {
            for (int j = matrix[0].length - 2; j >= 0; j--) {
                if (matrix[i][j] == 1) {
                    bottomArr[i][j] = matrix[i][j] + bottomArr[i+1][j];
                    rightArr[i][j] = matrix[i][j] + rightArr[i][j + 1];
                }
            }
        }
    }
 
    public int largest1BorderedSquare(int[][] matrix) {
 
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return 0;
        }
 
        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;
 
        int[][] rightArr = new int[row][col];
        int[][] bottomArr = new int[row][col];
 
        //预处理数组
        preHandle(matrix, rightArr, bottomArr);
 
        //全局正方形最大边长
        int maxSide = 0;
        for (int i = 0; i < row ; i++) {
            //当前行的每一列都作为正方形的左上角，即起始点
            for (int j = 0; j < col; j++) {
                //当前格子是否为1,为1才可能成为正方形的起始点
                if (matrix[i][j] == 0) {
                    continue;
                }
                //整个二维数组中，重要有1出现，那正方形边长至少为1
                if (maxSide == 0) {
                    maxSide = 1;
                }
 
                //行边长，列边长，两者取小。因为是正方形
                int sideLength = Math.min(rightArr[i][j], bottomArr[i][j]);
                boolean flag = true;
                for (int m = 1; m < sideLength; m++) {
                    //正方形的右上顶点往下数，即右边边长
                    int rightLength = bottomArr[i][j + m];
                    //正方形的底部边长
                    int bottomLength = rightArr[i + m][j];
 
                    //当前边长
                    int length = m + 1;
                    if (rightLength >= length && bottomLength >= length) {
                        maxSide = Math.max(maxSide, length);
                    }
                }
            }
        }
        return maxSide * maxSide;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        Largest1BorderedSquare_04_leetcode1139动态规划 ss = new Largest1BorderedSquare_04_leetcode1139动态规划();
 
        //int[][] matrix = {{1,1,1}, {1,0,1},{1,1,1}};
        int[][] matrix = {{1,1,1}, {1,1,0},{1,1,1},{0,1,1},{1,1,1}};
        System.out.println(ss.largest1BorderedSquare(matrix));
    }
}

7毫秒，50%的胜率，也还可以了。

虽然这一题也有动态规划，但是，它是基于暴力解逐步演化过来的。暴力解法时间复杂度为 O（N^4）。我们基于暴力解在讨论边长的过程中还需要一次遍历，通过数组预处理的的方式提前进行了统计，简化了验证新增列的验证。因此，动态规划的时间复杂度为 O(N^3) + O(N^2).  实际就是O(N^3)。

这一道题，动态规划的性能比暴力解的还要低一些，虽然动态规划的时间复杂度为O(N^3)，而暴力解的时间复杂度为O(N^4)。

动态规划的时间复杂度为O(N^3)，但是，它还有一个O(N^2)预处理数组的过程。因为力扣数据量有限，动态规划时间复杂度虽然降低了一阶，但是直观看起来还是没有暴力解高。

随着数据量的增大，动态规划还是要优于暴力解的。