线性判别分析（linear discriminant analysis，LDA），是一种经典的线性学习方法，其原理是：给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近，异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别。

LDA作为一种经典的机器学习算法，具有较好的降维效果和分类能力，同时对噪声具有一定的抗干扰能力。然而，LDA也有其局限性，适用于满足其假设条件的线性可分问题。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法和方法。

LDA目标

LDA的目标：最小化类内协方差，即让同类投影点尽可能的接近；最大化类间协方差，即让异类投影点尽可能远离。

LDA原理推导

二分类优化

多分类优化

LDA除法模型

LDA减法模型

LDA除法正则模型

LDA减法正则模型

证明：St=Sw+Sb

证明：

考虑多分类情况，二分类为多分类的一个特例。

即St=Sw+Sb。

LDA算法流程

下面将逐步介绍LDA步骤：

数据准备：假设我们有N个样本，每个样本有d个特征。同时，这些样本被标记为K个不同的类别。我们将所有样本构成一个矩阵X，其中每一行表示一个样本，第j列表示该样本的第j个特征。对应的类别标签构成向量y。
计算类别均值向量：针对每个类别k，计算其均值向量μ_k。μ_k的第j个元素表示在第j个特征上属于类别k的样本的平均值。
计算类内散度矩阵：类内散度矩阵S_w可以通过计算每个类别内各样本的散布程度来得到。具体地，对于第k个类别，计算其散度矩阵S_k。S_k可以通过将所有属于该类别的样本进行中心化，然后计算协方差矩阵得到。最后，将所有类别的散度矩阵相加，即可得到总的类内散度矩阵S_w。
计算类间散度矩阵：类间散度矩阵S_b用于衡量不同类别之间的距离。公式为S_b = Σ(N_k * (μ_k - μ) * (μ_k - μ)^T)，其中N_k表示属于第k个类别的样本数量，μ为所有样本的均值向量。
计算特征向量：通过求解广义特征值问题，可以得到投影矩阵W。该矩阵的每一列对应一个特征向量，这些特征向量对应于数据在低维空间中的线性判别。具体地，我们可以选择前k个最大的特征值所对应的特征向量作为投影矩阵W。
降维：将数据矩阵X乘以投影矩阵W，即可将高维数据映射到低维空间。降维后的数据矩阵Y = X * W。

通过以上步骤，我们就可以得到LDA算法的最终结果，即将高维数据映射到低维空间，并保留了最大程度的类别信息。

LDA优点

优点：

降维效果好：LDA通过学习类别之间的差异来选择合适的投影方向，使得同一类别样本之间的距离尽可能小，不同类别样本之间的距离尽可能大。这种特性使得LDA在降低数据维度的同时，尽可能保留了样本的类别信息。
解决分类问题：除了作为降维技术，LDA也可以应用于分类任务。通过选取适当的阈值，将降维后的样本进行分类。LDA在多类别分类问题上表现良好。
抗噪性强：LDA在处理受到一定噪声干扰的数据时，对异常值的影响相对较小。它通过学习类别之间的差异来确定投影方向，能够部分抵抗数据中的噪声。
简化模型：LDA可以将高维数据映射到低维空间，从而减少特征数量。这样做可以降低模型的复杂度，并且可以避免因维度灾难而导致的过拟合问题。

LDA缺点

缺点：

假设限制：LDA对数据的假设较为严格，例如假设数据符合正态分布、各个类别样本的协方差矩阵相等等。如果数据不满足这些假设，LDA的性能可能会下降。
过度拟合问题：当特征数量明显大于样本数量时，LDA的性能可能会受到影响。此时，计算类内散度矩阵的逆可能不稳定，从而导致过度拟合。
无法处理非线性问题：LDA是一种线性方法，只能学习线性投影来最大程度地保持类别信息。对于非线性问题，LDA的表现可能有限。
类别不平衡问题：当样本中某些类别的样本数量远远大于其他类别时，LDA可能会受到影响，因为它倾向于将投影方向选在样本数量较多的类别上。

基于LDA的人脸识别

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