微分方程（Blanchard Differential Equations 4th）中文版Section1.3

1.3 定性技术：斜率场

找到一个微分方程解的解析表达式 (换句话说，找到一个公式) 通常是描述微分方程解的一种有用方法。但是，还有其他方法来描述解决方案，这些替代表示通常更容易理解和使用。在本节中，我们将重点放在表示解决方案的几何技术上，并开发了一种可视化微分方程解图的方法
$$\frac{dy}{dt}=f(t,y).$$

一阶方程的几何意义

如果函数 $y(t)$ 是方程 $dy/dt=f(t,y)$ 的解，并且如果其图形通过点$(t_1,y_1)$，其中 $y_1=y(t_1)$，然后微分方程说 $t=t_1$ 时的导数 $dy/dt$ 由数字 $f(t_1,y_1)$ 给出。从几何上讲，在 $t=t_1$时 $dy/dt$与 $f(t_1,y_1)$ 的关系意味着在点 $(t_1,y_1)$ 处 $y(t)$ 图的切线的斜率为 $f(t_1,y_1)$ (见图1.10)。请注意，除了点 $(t_1，y_1)$ 是图形上解曲线 $y(t)$ 的点之外，没有什么特别之处。$dy/dt$ 和 $f(t,y)$ 的等式必须对所有 $t$ 成立，$y(t)$ 满足微分方程。换句话说，微分方程右侧的值得出 $y(t)$ 图上所有点的切线斜率 (见图1.11)。
图 1.10 点 $(t_1,y_1)$ 处的切线的斜率由 $f(t_1,y_1)$ 的值给出。图1.11 如果 $y=y(t)$ 是一个解，则 $y(t)$ 任何切线的斜率必须等于 $f(t,y)$。

斜率场

前面的几何观测法，是我们接下来研究一阶微分方程$dy/dt=f(t,y)$解的主要工具
图 1.12 点 $(t,y)$ 处的斜率方向线由微分方程的右手边 $f(t,y)$ 确定。
如果给定函数 $f(t,y)$，则通过勾勒其相应的斜率场，我们可以粗略地了解微分方程的解的图。我们通过选择 $(t,y)$ 平面中的点并计算这些点处的数值 $f(t,y)$ 来绘制此草图。在选择的每个点 $(t，y)$ 处，我们使用$f(t，y)$ 绘制一条斜率为$f(t，y)$ 的minitangent线 (见图1.12)。这些小型线也被称为slopemarks。一旦我们有了很多斜率标记，我们就可以将解的图形可视化。例如，考虑微分方程
$$\frac{dy}{dt}=y-t$$
换句话说，微分方程的右侧由函数 $f(t,y)=y-t$ 给出。为了对坡度场的概念进行一些练习，我们用手在少量的点上绘制了坡度场。然后我们讨论这个斜率场的计算机生成版本。手工生成斜率场是乏味的，所以我们只考虑 $(t,y)$ 平面上的九个点。
例如：点 $(t,y)=(1,-1)$处, $f(t,y)=f(1,-1)=$