算法学习系列（十五）：最小堆、堆排序_最小堆算法

引言

这个堆排序的话，考的还挺多的，主要是构建最小堆，并且在很多情况下某些东西还用得着它来优化，比如说迪杰斯特拉算法可以用最小堆优化，然后面试和考研用的也是挺多的，总之开始吧。

一、最小堆概念

本文只讲述最小堆，其一这个用的最多，而且跟最大堆来说其实都是差不多的，就一个小于一个大于

最小堆：首先是一个完全二叉树，然后每个结点都小于或等于其两个儿子，性质：根结点是整个堆的最小值。因为父亲是最小的，然后儿子又作为其儿子的父亲，也是其最小的，所以推出堆根是最小的。

存储方式：是用数组来存的，i 号下标的儿子为 2 * i，2 * i + 1，i 号下标的父亲为 i / 2

STL：优先级队列就是最小堆

二、堆排序模板（最小堆）

整体思路：先构建一个最小堆，然后输出堆根，再把堆根删了，再次构建，重复往返
删除堆根：用 h[size] 覆盖 h[1] ,size-- ，down(1)
解释一下为什么要down(1)：因为堆根肯定是最小的，你把最后一个覆盖到堆根了，你肯定要往下走，这样才能保证最小堆的正确，而且你也不可能往上走了
这个模板我们用例题来说明

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围
1≤m≤n≤105，1≤数列中元素≤109

输入样例：
5 3
4 5 1 3 2

输出样例：
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
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18

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int h[N];  //h[i]代表第堆中的i号下标对应的值
int n, m, cnt;  //cnt代表堆中的数量

//元素变小了，就up
void up(int u)
{
    while(u / 2 && h[u / 2] > h[u])  //若u>=1 并且比父亲大就交换，然后u变成父亲继续判断
    {
        swap(h[u], h[u/2]);
        u >>= 1;
    }
}

//元素变大了，就down
void down(int u)  //将下标为u的元素下移
{
    int t = u;
    if(u * 2 <= cnt && h[2 * u] < h[t]) t = 2 * u;  
    if(u * 2 + 1 <= cnt && h[2 * u + 1] < h[t]) t = 2 * u + 1;  //判断最小的值t
    
    if(t != u)  //若有一个儿子比自己小
    {
        swap(h[u], h[t]);  //交换值
        down(t);  //再次判断这个儿子
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &h[i]);
    cnt = n;
    
    for(int i = cnt / 2; i; --i) down(i);  //从倒数第二层的元素开始down到根，可以构建一个最小堆
    
    while(m--)
    {
        printf("%d ", h[1]);  //每次都是堆根的元素最小
        swap(h[1], h[cnt]);
        cnt--;
        down(1);
    }
    
    return 0;
}
1
2
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三、模拟堆

我们还是用例题来说明
然后这个有一个要求就是要对第k个插入的元素进行操作，但是我们又不知道第k个元素是谁，只知道下标，所以得维护两个数组ph[i] ，hp[i]，代表ph[k] == i，hp[i] == k，h[i] == a

然后这里有一些具体的操作：

• 插入元素：h[++size] = insert_elem, up[size]
• 删除堆根：用 h[size] 覆盖 h[1] ,size-- ，down(1)
• 输出最小值：h[1]
• 删除最小值：也就是删除堆根
• 删除第k个插入的数：h[k] = h[size–], up(k), down(k)
• 修改第k个插入的数：h[k] = x, up(k), down(k)

解释一下为什么要up一遍再down一遍：因为不知道第k个数该往上走还是往下走，你把两个都执行了，里面的条件自然会判断的，如果不能往上走那么也就会退出的，也就是说只会执行一个操作

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：
I x，插入一个数 x；
PM，输出当前集合中的最小值；
DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
D k，删除第 k 个插入的数；
C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；

现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式
第一行包含整数 N。
接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式
对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。

输入样例：
8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例：
-10
6
1
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3
4
5
6
7
8
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int h[N], hp[N], ph[N];
int n, cnt, idx;

void swap_heap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a],hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void up(int u)
{
    while(u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        swap_heap(u, u/2);
        u >>= 1;
    }
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if(u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if(u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    
    if(t != u)
    {
        swap_heap(t,u);
        down(t);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        char op[5];
        int k, x;
        
        scanf("%s", op);
        if(!strcmp(op,"I"))
        {
            scanf("%d", &x);
            cnt++, idx++;
            h[cnt] = x;
            hp[cnt] = idx, ph[idx] = cnt;
            up(cnt);
        }
        else if(!strcmp(op,"PM"))
        {
            printf("%d\n", h[1]);
        }
        else if(!strcmp(op,"DM"))
        {
            swap_heap(1,cnt);
            cnt--;
            down(1);
        }
        else if(!strcmp(op,"D"))
        {
            scanf("%d", &k);
            k = ph[k];
            swap_heap(k, cnt);
            cnt--;
            up(k);
            down(k);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];
            h[k] = x;
            up(k);
            down(k);
        }
    }
    
    return 0;
}
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