Perplexity(困惑度)_困惑度计算公式

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#什么是Perplexity(困惑度)?

在信息论中，perplexity(困惑度)用来度量一个概率分布或概率模型预测样本的好坏程度。它也可以用来比较两个概率分布或概率模型。（译者：应该是比较两者在预测样本上的优劣）低困惑度的概率分布模型或概率模型能更好地预测样本。

1.概率分布的困惑度
2.概率模型的困惑度
3.每个分词的困惑度

##1.概率分布的困惑度
定义离散概率分布的困惑度如下：
$$2^{H(p)}=2^{-{\sum }_{x}p(x){\log }_{2}p(x)}$$
其中H§是概率分布p的熵，x是样本点。因此一个随机变量X的困惑度是定义在X的概率分布上的（X所有"可能"取值为x的部分）。（译者：x不能包含零测集的点，不然p(x)logp(x)没定义）

一个特殊的例子是k面均匀骰子的概率分布，它的困惑度恰好是k。一个拥有k困惑度的随机变量有着和k面均匀骰子一样多的不确定性，并且可以说该随机变量有着k个困惑度的取值（k-ways perplexed）。（在有限样本空间离散随机变量的概率分布中，均匀分布有着最大的熵）

困惑度有时也被用来衡量一个预测问题的难易程度。但这个方法不总是精确的。例如：在概率分布B(1,P=0.9)中，即取得1的概率是0.9，取得0的概率是0.1。可以计算困惑度是：

$$2^{-0.9lo{g}_{2}0.9-0.1lo{g}_{2}0.1}=1.38$$

同时自然地，我们预测下一样本点的策略将是：预测其取值为1，那么我们预测正确的概率是0.9。而困惑度的倒数是1/1.38=0.72而不是0.9。（但当我们考虑k面骰子上的均匀分布时，困惑度是k，困惑度的倒数是1/k，正好是预测正确的概率）

困惑度是信息熵的指数。

##2.概率模型的困惑度
用一个概率模型q去估计真实概率分布p，那么可以通过测试集中的样本来定义这个概率模型的困惑度。

$$b^{-\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{\log }_{b}q(x_i)}$$

其中测试样本x1, x2, …, xN是来自于真实概率分布p的观测值，b通常取2。因此，低的困惑度表示q对p拟合的越好，当模型q看到测试样本时，它会不会“感到”那么“困惑”。

我们指出，指数部分是交叉熵。

$$H(\hat{p},q)=-\sum _x\hat{p}(x){\log }_{2}q(x)$$

其中 $\hat{p}$ 表示我们对真实分布下样本点x出现概率的估计。比如用p(x)=n/N

##3.每个分词的困惑度

在自然语言处理中，困惑度是用来衡量语言概率模型优劣的一个方法。一个语言概率模型可以看成是在整过句子或者文段上的概率分布。（译者：例如每个分词位置上有一个概率分布，这个概率分布表示了每个词在这个位置上出现的概率；或者每个句子位置上有一个概率分布，这个概率分布表示了所有可能句子在这个位置上出现的概率）

比如，i这个句子位置上的概率分布的信息熵可能是190，或者说，i这个句子位置上出现的句子平均要用190 bits去编码，那么这个位置上的概率分布的困惑度就是2^{(190)。（译者：相当于投掷一个2}(190)面筛子的不确定性）通常，我们会考虑句子有不同的长度，所以我们会计算每个分词上的困惑度。比如，一个测试集上共有1000个单词，并且可以用7.95个bits给每个单词编码，那么我们可以说这个模型上每个词有2^(7.95)=247 困惑度。相当于在每个词语位置上都有投掷一个247面骰子的不确定性。

在Brown corpus (1 million words of American English of varying topics and genres) 上报告的最低的困惑度就是247per word，使用的是一个trigram model（三元语法模型）。在一个特定领域的语料中，常常可以得到更低的困惑度。

要注意的是，这个模型用的是三元语法。直接预测下一个单词是"the"的正确率是7%。但如果直接应用上面的结果，算出来这个预测是正确的概率是1/247=0.4%，这就错了。（译者：不是说算出来就一定是0.4%，而是说这样算本身是错的）因为直接预测下一个词是”the“的话，我们是在使用一元语法，而247是来源于三元语法的。当我们在使用三元语法的时候，会考虑三元语法的统计数据，这样做出来的预测会不一样并且通常有更好的正确率。

翻译：https://en.wikipedia.org/wiki/Perplexity
作者：microstrong
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