张量的通俗理解

1 关于张量的四种定义

“张量”在不同的运用场景下有不同的定义。

    （1）张量是多维数组，这个定义常见于各种人工智能软件。听起来还好理解。

    （2）张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。

    （3）张量是向量和余向量（covector）通过张量积（tensor product）组合而成的。

    （4）张量是多重线性映射，即：，V表示是矢量空间，  V*是对应的对偶空间。

2 多维数组

    开源框架tensor-flow是这么定义tensor（张量）的：A tensor is ageneralization of vectors and matrices to potentially     higher dimensions.

    也就是说，张量（tensor）是多维数组，目的是把向量、矩阵推向更高的维度。

    更具体点，也即是说：

    

    

把三维张量画成一个立方体：

                                 

    

    我们就可以进一步画出更高维的张量：从数据结构上来看，张量就是多维数组。这个定义本身没有错，但是没有真正反映张量 

    的核心。

 

3 几何对象

    我们来看下第二个定义：张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。

    3.1 二维平面

        最简单的几何对象就是二维平面，在线性代数中称为  R方（这是一个向量空间），下面用一个有颜色的方框来表示：

                

          这个R方可以通过直角坐标系来描述（也就是单位正交基来张成）

                  

        也可以由别的坐标系来描述（别的基来张成），当然 R方本身不会因为基不同而发生改变：

                    

    上面的图有几点值得注意：是一个几何对象，它与坐标系（基）无关,可以通过不同的坐标系（基）来描述（张成）,并且，不   同的坐标系（基）之间有明确的转换规则（这个我们后面再说）,那这样一个几何对象，  就可以用张量来描述。

 

3.2 二维平面中的向量

 R方中的向量，也是一个几何对象：

        

当 R方被某个基张成的时候，向量也获得了坐标值：

        

如果基发生了变换，坐标值也会不断的变化：

从而可以得到如下的结论：向量是一个几何对象，它与基无关,不同的基下，有不同的坐标值,并且，不同的坐标值之间有明确的转换规则,所以，向量这个几何对象也可以用张量来描述。

3.3 二维平面之间的线性映射

假设有如下线性映射：

其实它也是一个几何对象，可以图示如下

上图表示左边  中的一点（一点也对应一个向量），通过 L和右边R方中的一点关联了起来，这就是映射。

当用单位正交基来描述左右两个  ，可以得到一个矩阵  来表示此  ：

不同的基，会获得不同的矩阵（也就是所谓的等价矩阵），比如说  ：

进而得到如下的结论：

线性映射  是一个几何对象，它与基无关

不同的基下，有不同的矩阵来代表

并且，不同的矩阵之间有明确的转换规则

所以，  这个几何对象也可以用张量来描述。

4 总结

可见，张量可以表达非常多的线性代数的研究对象。