leetcode 思路——64. 最小路径和——174. 地下城游戏

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

动态规划思路：

1. 我们可以设dp[i][j]的意思为到达第i行第j列的最短路径和
2. 依次从左到右，从上到下算取dp的值
3. 我们思考可知，第i行第j列的值要么来自它的上方要么是它的左方，所以转移方程为dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]，而第一行和第一列是比较特殊的，它只依赖本行或者本列，而他们要被第二行或第二列依赖，所以他们要单独先算出来。

代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        if(grid.empty()) return 0;
        vector<vector<int>> dp(grid.size()+1,vector<int> (grid[0].size()+1,0));
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1;i<grid[0].size();i++){
            dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i];
        }
        for(int i = 1;i<grid.size();i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int i = 1;i<grid.size();i++){
            for(int j = 1;j<grid[0].size();j++){
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
            }
        }
        return dp[grid.size()-1][grid[0].size()-1];
    }
};
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174. 地下城游戏

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

说明:

• 骑士的健康点数没有上限。
• 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

动态规划思路：

1. 定义dp[i][j]为如果目前为第i行第j列，从现在这个位置到达右下角最少需要多少的血量。（因为我们没有办法从左上角开始计算，然后如何设置血量以至于到达右下角英雄不死亡，只能从右下角反推计算上一步最少需要多少的血量才能到达此步）
2. 和上一题相反，这次是从右下往左上走
3. 这个题的状态转移方程比较难想，思考步骤如下：

则状态转移方程为：dp[i][j] = max(1,min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j]);最后一行和最后一列也是例外，因为他们依赖于他们自己，而被其他行依赖，需要先计算出来。

代码：

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int> >& dungeon) {
        if(dungeon.empty()) return 0;
    	int row = dungeon.size();
        int col = dungeon[0].size();
        vector<vector<int> > dp(row,vector<int> (col,0));
        dp[row-1][col-1] = max(1,1-dungeon[row-1][col-1]);
        for(int i = row-2;i>=0;i--){
            dp[i][col-1] = max(1,dp[i+1][col-1]-dungeon[i][col-1]);
        }
        for(int i = col-2;i>=0;i--){
            dp[row-1][i] = max(1,dp[row-1][i+1]-dungeon[row-1][i]);
        }
        for(int i = row-2;i>=0;i--){
            for(int j = col-2;j>=0;j--){
                int dp_min = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]);
                dp[i][j] = max(1,dp_min-dungeon[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};
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