《数字图像处理第二版》第三章部分习题_图像拉普拉斯算子习题

---

第三章 空间域图像增强

重点：空间域增强的概念；基本灰度变换；直方图处理；算术/逻辑操作；空间域滤波、平滑空间域滤波、锐化空间滤波

习题1

请写出幂次变换的基本形式。在使用幂次变换增强图像时，参数的选择应注意什么问题？

分析：幂次变换的基本形式为：$s=c{r}^{\gamma }$,通过选取不同的$\gamma$值可以得到一族变换曲线如下图

答：幂次变换的基本形式为$s=c{r}^{\gamma }$，其中c和$\gamma$为正常数。$\gamma$的选取与增强的效果有很大关系。一般来说，对于偏暗的图像应该选取小于1的$\gamma$值，而对于偏亮的图像应选取大于1的$\gamma$值。

习题2

什么是对数变换，对数变换的典型应用是什么？

答：对数变换的一般表达式：$s=clog(1+r)$。其中c是一个常数，$r⩾0$。此种变换使一窄带低灰度输入图像值映射为一宽带输出值。可以利用这种变换来扩展被压缩的高值图像中的暗像素。对数变换的一个典型应用是图像的傅里叶频谱的显示。

习题3

某个灰度变换如下图所示，其中L=256,r1=50,s1=10，r2=200，s2=245,求该变换的函数表达式。

解：图示变换曲线是分段线性变换函数
当$0⩽r⩽50$，$s=T(r)=\frac{1}{5}r$

当$50⩽r⩽200$，$\frac{r-50}{200-50}=\frac{s-10}{245-10}$，$s=T(r)=\frac{47}{30}r-\frac{205}{3}$

当$200⩽r⩽256$，$\frac{r-200}{255-200}=\frac{s-245}{255-245}$，$s=T(r)=\frac{2}{11}r+\frac{2295}{11}$

s = T ( r ) = { 1 5 r 0 ⩽ r ⩽ 50 47 30 r − 205 3 50 ⩽ r ⩽ 200 2 11 r + 2295 11 200 ⩽ r ⩽ 256 s=T(r)=\left\{

$$\begin{array}{rcl} \frac{1}{5}r & &{0 \leqslant r\leqslant 50}\\ \frac{47}{30}r-\frac{205}{3} & &{50 \leqslant r\leqslant 200}\\ \frac{2}{11}r+\frac{2295}{11} & &{200 \leqslant r\leqslant 256} \end{array}$$ \right. s=T(r)=⎩⎨⎧​51​r3047​r−3205​112​r+112295​​​0⩽r⩽5050⩽r⩽200200⩽r⩽256​

习题4

某同学编了个程序，直接用对数变换：s=log2(1+r)，对256灰度级的数字图像进行增强，发现结果图像显示出来基本是全黑的，请问他可能忽略了什么问题，如何解决

分析：灰度是表明图像明暗的数值，即黑白图像中点的颜色深度，范围一般从0到255，白色为255 ，黑色为0，故黑白图片也称灰度图像。灰度值指的是单个像素点的亮度。灰度值越大表示越亮。原图像的灰度级为256，最大灰度为255，根据s=log2(1+r),结果图像中最亮的像素也只有log2(1+255)=8，显示出来基本上还是黑的，所以结果图像基本是全黑的，所以必须重新标定。如果原图像的灰度级为 L，对数变换公式的结果应当重新标定为 [0, L-1] 的灰度级。例如，对于一幅 256 灰度级的原图像，对数变换增强的结果可用以下式子表示。
$s=\frac{c\times log(1+r)-c\times log(1+0)}{c\times log(1+255)-c\times log(1+0)}\times 255$

答：他可能没有对结果图像的灰度级重新标定，如果原图像的灰度级为256，对数变换公式的结果应当重新标定为[0,255]的灰度级。对于一幅256灰度级的原图像，实际使用的对数变换可用下式表示
$s=\frac{c\times log(1+r)-c\times log(1+0)}{c\times log(1+255)-c\times log(1+0)}\times 255$

习题5

求一变换函数能产生256灰度级图像的第5位平面，并画出函数曲线。

分析：一幅m比特的灰度图像具有的灰度级可以用以2为底的多项式进行表示
$a_{m-1}{2}^{m-1}+a_{m-2}{2}^{m-2}+...+a_2{2}^2+a_1{2}^2+a_{1}2+a_0$，题中是256灰度级图像，也就是8比特图像。

解：
a 5 = T ( r ) = { 0 r∈[0,31],[64,95],[128,159],[192,223] 1 r∈[32,63],[96,127],[160,191],[224,255] a_5=T(r)=

$$\begin{cases} 0& \text{r∈[0,31],[64,95],[128,159],[192,223]}\\ 1& \text{r∈[32,63],[96,127],[160,191],[224,255]} \end{cases}$$ a5​=T(r)={01​r∈[0,31],[64,95],[128,159],[192,223]r∈[32,63],[96,127],[160,191],[224,255]​

习题6

a为正常数的指数式$e^{-a{r}^2}$对于构造灰度平滑变换函数是非常有用的。由这个基本函数开始，构造具有下图形状的变换函数。所示的常数是输入参数，并且提出的变换必须包含这些参数特定的形式。

解：
（a）可设$s=T(r)=A(e^{-a{r}^2})$
由$T(L_0)=\frac{A}{2}$，得$e^{-a{L}_0^2}=\frac{1}{2}$
$a=-\frac{ln(\frac{1}{2})}{L_0^2}$
(b)可设$s=T(r)=B(1-e^{-a{r}^2})$
由$T(L_0)=\frac{B}{2}$，得$e^{-a{L}_0^2}=\frac{1}{2}$
$a=-\frac{ln(\frac{1}{2})}{L_0^2}$
（c）$s=T(r)=D-(D-C)e^{-a{r}^2}$

习题7

已知一幅图像的直方图为$h(r_k)$，假如将最低位平面设为零值，求新图像的直方图。

分析：灰度级为[0,L-1]范围的数字图像的直方图是离散函数$h(r_k)=n_k$，这里$r_k$是第k级灰度，$n_k$是图像中灰度级为$r_k$的像素个数。经常以图像中像素的总数（用n表示）来除它的每一个值得到归一化的直方图。因此，一个归一化的直方图由$P(r_k)=\frac{n_k}{n}$给出，这里k=0,1，…，L-1。简单地说，$P(r_k)$给出了灰度级为$r_k$发生的概率估计值。

解：最低位平面也就是第0位平面，新图像的方图为
h ′ ( r k ) = { h ( r k + 1 ) + h ( r k ) r k  is even 0 r k  is odd h'(r_k)=

$$\begin{cases} h(r_k+1)+h(r_k)& \text{$r_k$ is even}\\ 0& \text{$r_k$ is odd} \end{cases}$$ h′(rk​)={h(rk​+1)+h(rk​)0​rk​ is evenrk​ is odd​

习题8

现有一图像，其直方图具有如下函数形式：

P ( r ) = { 4 r r∈[0,0.5] − 4 ( r − 1 ) r∈[0.5,1] P(r)=

$$\begin{cases} 4r& \text{r∈[0,0.5]}\\ -4(r-1)& \text{r∈[0.5,1]} \end{cases}$$ P(r)={4r−4(r−1)​r∈[0,0.5]r∈[0.5,1]​
(1) 画出该直方图（2）先要对图像进行直方图均衡，假设灰度是连续的，请写出这个变换函数。
分析：显然该直方图曲线是由两条直线组成。假设灰度是连续的，直方图均衡的公式应为$S=T(r)={\int }_0^{r}P(r)dr$

答：（1）

(2)
r∈[0,0.5]
$T(r)={\int }_0^{r}4xdx=2r^2$
r∈[0.5,1]
$T(r)={\int }_0^{0.5}4xdx+{\int }_{0.5}^r-4(x-1)dx=-2r^2+4r-1$

习题8

下图为一副3bit的数字图像，试画出直方图，并进行直方图均衡

1 1 1 5 1
2 2 1 1 4
0 2 6 5 3
4 2 7 2 5
5 3 3 5 4
分析：直方图均衡化的基本思想是把原直方图变换为均匀分布的形式，这样就添加了像素灰度值的动态范围从而可达到增强图像整体对比度的效果。直方图均衡的关键是求得一灰度变换函数，这个函数能把直方图变换为均匀分布的形式。

解：直方图如下

数字图像的直方图均衡应为：
$s_k=T(r_k)={\sum }_{j=0}^k{P}_r(r_j)={\sum }_{j=0}^k\frac{n_j}{n}$

考虑到实际的应用中，输出也应是数字图像，并且输入和输出的数字图像的灰度级分辨率应该是一致的。
实际的灰度变换函数应为

习题10

对同样的场景采集了4幅图像，下面显示了这4幅图像的直方图，你能否根据直方图说出这4幅图像各有什么特点？哪幅图像的效果最好？

答：直方图a的组成成分集中在灰度级低（暗）的一侧，所以直方图a对应的图像是一幅暗色图像；
直方图b的组成成分集中在灰度级高（亮）的一侧，所以直方图b对应的图像是一幅亮色图像；
直方图c的组成成分窄而集中于灰度级的中部，所以直方图c对应的图像是一幅低对比度图像；
直方图d中的成分覆盖了灰度级很宽的范围，而且，像素的分布没有太不均匀，只有少量垂线比其他的高许多，所以直方图d对应的图像是一幅高对比度图像。
直方图d对应的图像的效果应该是最好的。

习题11

一幅图像的灰度PDF，$P_r(r)$示于下图。现对此图像进行灰度变换，使其灰度表达式为下面有右图的$P_z(z)$。假设灰度值连续，求完成这一要求的变换（r到z）

分析：这一道题实际要求的是直方图的规定化。令s为一随机变量，且有：
$s=T(r)={\int }_0^r{p}_r(w)dw$，$s=G(z)={\int }_0^z{p}_z(w)dw$。由这两个等式可得到G(z)=T®，因此，z必须满足条件：$z=G^{-1}(s)=G^{-1}[T(r)]$

解：
$P_r(r)=2-2r$ ,$r\in [0,1]$
$P_z(z)=2z$ ,$z\in [0,1]$
$s=T(r)={\int }_0^r{p}_r(w)dw={\int }_0^{r}2-2wdw=2r-r^2$
$s=G(z)={\int }_0^z{p}_z(w)dw={\int }_0^{z}2wdw=z^2$
$z=G^{-}1(s)=G^{-}1[T(r)]=(2r-r^2{)}^{\frac{1}{2}}$

习题12

图像的减法常可用在图像处理中，但在差值图像中会有负值出现，要显示这种图像需要某种标度，请指出两种标度方法。

答：在实践中，大多数的图像由8位码显示（即使24比特的彩色图像也由3组8位码的通道组成），因此，像素值的大小不会超出0到255的范围。在差值图像中，像素值的取值最小为-255，最大为255，因此，显示这一结果需要某种标度。有两种主要的方法标度差值图像。
一种方法是对每个像素值再加255然后除以2.这种做法无法保证像素的取值可以覆盖0到255的全部8比特范围，但所有的像素值一定能在这一范围内。这种方法实现上快速而简单，但它也有一定的局限性，即整个显示范围没有得到充分利用，潜在的缺点是，在除2过程中固有的截尾误差通常将导致精确度的损失。
如果希望更高的精确度并使用像素取值覆盖整个8比特的范围，可以采用另一种方法。首先，提取最小差值，并且把它的负值加到所有差值图像的像素中（这样就可以创作出一幅最小像素值为零的改进的差值图像）。然后，通过用255/max值去乘每个像素（其中max为改进的差值图像中最大像素取值）将图像中的所有像素标定到0到255的范围中。这种方法比前一种方法复杂。

习题13

请给出两种3x3的可用于平滑线性滤波掩模。

答：

习题14

请证明中值滤波是非线性的算子。

分析：线性算子应该满足可加性和齐次性（均匀性）。令H是一种算子，其输入和输出都是图像。如果对于任何两幅图像f 和g 及任何两个标量a和b有如下关系，称H为线性算子：
$H(af+bg)=aH(f)+bH(g)$

证明：假设有两幅图像f(x,y)和g(x,y)。在f(x,y)的一个3x3的领域内的像素值为{1,1,0,0,0,1,0,0,0}，在g(x,y)对应位置上的3x3的领域内的像素值为{1,1,1,0,0,1,2,2,2}，可得
$medianf(s,t)=median1,1,0,0,0,1,0,0,0=0，(s,t)\in S_{x,y}$
$mediang(s,t)=median1,1,1,0,0,1,2,2,2=1，(s,t)\in S_{x,y}$
$medianf(s,t)+g(s,t)=median2,2,1,0,0,2,2,2,2=2，(s,t)\in S_{x,y}$
$medianf(s,t)+g(s,t)\ne medianf(s,t)+mediang(s,t)，(s,t)\in S_{x,y}$
所以中值滤波是非线性的算子。

习题15

已知一幅图像如下，试写出分别用3x3的均值滤波器和中值滤波器处理的结果（可以不考虑位于图像边界的像素）。

答：3x3的均值滤波器处理的结果

3x3的中值滤波器处理的结果

习题16

拉普拉斯算子在图像增强中很有重要的应用。（1）请给出对于二元图像函数f(x,y)的拉普拉斯变换的定义。（2）请给出两个考虑了对角线方向的拉普拉斯掩模。（3）请写出使用拉普拉斯算子对图像增强的基本方法。

答：（1）二元图像函数f(x,y)的拉普拉斯变换定义为：
${\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^2{x}^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$
(2)考虑了对角线方向的拉普拉斯掩模如下

g ( x , y ) = { f ( x , y ) − ∇ 2 f ( x , y ) 掩模中心为负 f ( x , y ) + ∇ 2 f ( x , y ) 掩模中心为正 g(x,y)=

$$\begin{cases} f(x,y)-\nabla^2f(x,y)& \text{掩模中心为负}\\ f(x,y)+\nabla^2f(x,y)& \text{掩模中心为正} \end{cases}$$ g(x,y)={f(x,y)−∇2f(x,y)f(x,y)+∇2f(x,y)​掩模中心为负掩模中心为正​

习题17

图像处理中计算一阶微分的掩模有许多种，请说出它们都必须有的特性。

答：这些掩模必须满足一阶微分的特点，即（1）在平坦段（灰度不变的区域）微分值为0；（2）在灰度阶梯或斜坡的起始点处微分值非零；（3）沿着斜坡面微分值非零。