高数 | 【概念剖析】反函数常见问题解决思路_大一高数反函数例题

一、有明确函数表达式的题型

对于这种题我们在只需要牢记反函数的定义：一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

二、无明确函数表达式的题型

真题回顾：（2007.17）

---

三、反函数求导的问题

反函数的求导法则是：

反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： 

y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！

出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。

所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3（这里应该是y=x^3反函数的导数，x=y^(1/3),dx/dy=1/3 * y^(-2/3)），只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。

因此：
y=x1/3的导函数应该这样求 y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)，=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则

所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。

例题：求y=arcsinx的导函数。

首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以： y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点。。，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。

同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。
相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

结论:反函数与原函数一起运算时，不要将反函数的y改写成x

 例题：

 

【反函数的导数】十分钟彻底搞定反函数求导_哔哩哔哩_bilibili

 一阶反函数导数我们只需要记住上面两步的内容那么对于二阶甚至多阶反函数的导数我们应该怎么去做呢？

我们会发现二阶反函数只是比一阶反函数在解题过程中多了一个步骤：

对一阶反函数求导（注意是对原函数中的y求导。原函数的自变量x为反函数的因变量y（或f-1（x）），原函数的因变量y为反函数的自变量x）。

那么多阶反函数求导也可以以此类推。那么我们就可以总结多阶求导的三部曲:

 

 真题回顾：（2007 数二 8）

---

参考来源

反函数常见问题解决思路 - 知乎

反函数的导数 - 遗忘海岸 - 博客园