动态规划DP_动态规划算法求解添加最少括号数问题，括弧啊序列有()、{ }、[ ]组成，

一、什么是动态规划算法

    动态规划法将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求解的递推关系（也就是动态规划函数）中，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解，从而避免了大量重复计算。
    动态规划求解的问题应当具有最优子结构性质：

最优性原理（Optimal Principle）：
    无论决策过程的初始状态和初始决策是什么，其余的决策都必须相对于初始决策所产生的当前状态，构成一个最优决策序列。
    即，在多阶段决策中，各子问题的解只与它前面的子问题的解有关，并且各子问题的解都是相对于当前状态的最优解，整个问题的最优解是由各个子问题的最优解构成。
    如果一个问题满足最优性原理通常称此问题具有最优子结构性质。

    今天老师非常强调，动态规划问题就是数学问题，数学基础较好的更有优势(然而我并不觉得，虽然数学也不太好，不过动态规划的确很难)。动态规划的特点就是每次将运算结果存储起来，供下次计算使用，求解过程主要是逆向思维，倒推的思想。由结果去想上一步是怎么得到这个结果的，从而建立动态规划函数，求解的时候再正向求解。
    也就是说，动态规划每一步的结果状态都由上一步的结果状态决定，关键在于找状态转换函数，即目前有一个最优解，如何增加一个元素得到新的最优解。而上一步又由上上一步决定（倒推思想），所以要求解整个问题，得先从第一步开始求解（正向求解），每一个子问题与原问题的求解方法相同。

二、动态规划的关键与难点

    动态规划的关键在于找动态规划函数，建立状态转换关系，这一步往往很难，因为很多问题的状态关系并不明显，需要花很多功夫去找，完成这一步就意味着问题解决一大半了。还是举个例子吧，最经典的问题，求最大子序列和：
输入N，表示序列有N个元素，然后输入这N个元素
要求找出这个序列中一个和最大的连续子序列，并输出最大和。

样例输入：
6
-2,11,-4,13,-5,-2
样例输出：
20

一般思路（蛮力法）：
子序列起始坐标从0…i,终点坐标从0…i，然后对于每一个子序列再嵌套一个循环求和，用了三层循环，因此时间复杂度为$O(n^3)$,效率很低。下面是实现代码：

  int  maxsum(int n, int *a, int & besti,  int & bestj)
  {  int sum=0;
     for (int i=1; i<=n; i++)//控制子数组开始位置
      for (int j=i; j<=n; j++)//控制子数组结束位置
        { int thissum=0;
           for (int k=i; k<=j; k++)  thissum+=a[k];//子数组循环
           if  (thissum>sum)
            { sum=thissum;  besti=i;   bestj=j;}
          }
      return  sum;
   }
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

方法二（动态规划）：
    假设序列元素数组为a[],我们可以用一个数组b[j]，来记录以j号元素结尾的子序列的最大和。现在开始找状态函数。假设b[j-1]已经求的，现在求解b[j],那么对于j号元素a[j]结尾的子序列最大和有两种情况，一种是加上b[j-],另一种是直接赋值为a[j]。因为对于j好元素结尾的子序列必然包含a[j],题目有要求是连续子序列，因此现在考虑将以j-1号元素结尾的子序列作为以j号元素结尾的子序列的前缀所形成的新子序列和$b[j-1]+a[i]$是否大于不将其作为以j号元素结尾的子序列的前缀所形成的新子序列和$a[i]$,选择最大值即可。由此可以得到状态转移函数：

b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j]);
也可写成
if(b[j]>0)
	b[j]+=a[j];
else
	b[j]=a[j];
1
2
3
4
5
6

然后不断更新最大值即可。可以发现，动态规划算法的时间复杂度为$O(n)$，只用了一层循环，效率是非常高的。以下是实现代码

int maxsum(int  n, int *a)
 { 
 	int sum=0, b=0;
    for (int i=1;  i<=n;  i++)
     { if (b>0) b+=a[i];
           //如果前面为零，相加则影响后面结果，所以抛弃前面总和
        else b=a[i];
        if(b>sum)  sum=b;}
     return  sum;                        
 }
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

三、动态规划能解决哪些问题

    动态规划的应用非常广，可以解决很多问题，以下是一些经典问题，在各大oj上也都有对应的训练题。

1.0-1背包问题

问题描述：给定n个物品，每个物品有两个属性，价值$v_i$和重量$w_i$，给定背包容量$c$,问如何选择物品放入背包使得背包总价值最大。
约 束 条 件 ： { ∑ i = 1 n w i x i ≤ c x i ∈ { 0 , 1 } 1 ≤ i ≤ n 约束条件：\left\{

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^nw_ix_i\leq c\\ x_i\in\lbrace0,1\rbrace 1\leq i\leq n \end{aligned}$$ \right. 约束条件：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​i=1∑n​wi​xi​≤cxi​∈{0,1}1≤i≤n​
$$目标函数：max\sum _{i=1}^n{v}_i{x}_i$$

2.最大子矩阵和问题

问题描述：给定一个$n\times n$的矩阵，求解其最大和的子矩阵，输出最大和

3.数塔问题

问题描述：从数塔的顶层出发，在每一个结点可以选择向左走或向右走，一直走到最底层，要求找出一条路径，使得路径上的数值和最大。

4.最长升（降）序列问题

问题描述：给定一个含n个元素的序列，求解其最长的递增序列的长度。

5.矩阵连乘问题

问题描述: 给定n个矩阵{A1, …,An}, 其中Ai与A i-1 是可相乘的. 确定一个计算次序, 使计算矩阵连乘积A1…An所需计算量最少