朴素贝叶斯分类【原理推导+实例】_朴素贝叶斯分类器

机器学习笔记——朴素贝叶斯分类器

第一章 机器学习简介
第二章 感知机
第三章 支持向量机
第四章 朴素贝叶斯分类器
第五章 Logistic回归
第六章 线性回归和岭回归
第七章 多层感知机与反向传播【Python实例】
第八章 主成分分析【PCA降维】
第九章 隐马尔可夫模型
第十章 奇异值分解

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回顾支持向量机模型中，从训练样本集 $\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^N$ 直接学得决策函数
$$f(x)=\mathrm{sign}(\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i(x_i\cdot x)+b),$$对新数据实例$x$的预测$\hat{y}$直接由决策函数给出，即$\hat{y}=f(x)$。而朴素贝叶斯分类是以条件概率分布$P(Y|X)$而非决策函数$f(x)$为模型的分类方法：

• 通常先从训练样本集$T=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^N$学得条件概率分布$P(Y|X).$
• 再对新数据实例$x$ 按照后验概率最大化原则确定预测$\hat{y}$, 即
  $$\hat{y}=\underset{y\in \mathcal{Y}}{\mathrm{argmax}}P(y|x).$$

一、后验概率最大化分类准则

假设有 $N$ 种可能的类别标记，即 Y = { y 1 , y 2 , … , y N } , λ i j \mathcal{Y}=\{y_1,y_2,\ldots,y_N\},\lambda_{ij} Y={y1​,y2​,…,yN​},λij​ 是将一个真实标记为$y_j$的样本误分类为$y_i$所产生的损失。基于后验概率$P(y_i\mid \mathbf{x})$ 可获得将样本 $\mathbf{x}$ 分类为 $y_i$ 所产生的期望损失, 即在样本 $x$ 上的“条件风险”。那么我们可以得到将$x$的类别预测为$y_i$所产生的风险(期望损失)为
$$R(Y=y_i|x)=\sum _{j=1}^K{\lambda }_{ij}P(Y=y_j|x),$$最优预测依据贝叶斯决策论（期望损失最小化），对输入实例$x$的最优预测$\hat{y}$应该满足:

$$\hat{y}=\underset{y_i}{\mathrm{argmin}}R(Y=y_i|x)$$
如果我们采用0-1损失函数，即 λ i j = { 1 , i ≠ j 0 , i = j . \lambda_{ij}=\left\{

$$\begin{array}{ll}1,&i\neq j\\0,&i=j\end{array}$$ \right. . λij​={1,0,​i=ji=j​. 则
$$\begin{array}{rl}R(Y=y_i|x)=& \sum _{j\ne i}1\times P(Y=y_j|x)+0\times P(Y=y_i|x)\\ =& \sum _{j\ne i}P(Y=y_j|x)\\ =& 1-P(Y=y_i|x).\end{array}$$
相应地，输入实例$x$的最优预测$\hat{y}$应该满足：
$$\begin{array}{rl}\hat{y}& =\underset{y_i}{\mathrm{argmin}}R(Y=y_i|x)\\ & =\underset{y_i}{\mathrm{argmin}}[1-P(Y=y_i|x)]\\ & =\underset{y_i}{\mathrm{argmax}}P(Y=y_i|x)\end{array}(1)$$

• 输入实例$x$的最优预测$\hat{y}$为使得后验概率$P(y|x)$最大的类标记，也就是把后验概率最大那个类别当作预测类别；
• 关键是怎么求这个后验概率$P(y|x)$.

二、生成式模型和判别式模型

如何计算相应的后验概率$P(Y=y_i|x)?$

1. 判别式模型

• 直接从训练样本集$D=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^N$学习出后验概率$P(Y=y_i|x)$
• 也就是说学一个后验概率的函数，这个函数给定形式，学习参数，比如Logistic回归。

2. 生成式模型

• 不直接学习后验概率$P(Y=y_i|x)$，而是需要学习出联合概率分布$P(Y=y_i,x)$
• 然后利用贝叶斯公式
  $$P(Y=y_i|x)=\frac{P(Y=y_i,x)}{P(x)},$$ 计算出$P(Y=y_i|x).$

朴素别叶斯模型就是很典型的生成式模型，而支持向量机、Logistic回归等属于判别式模型。

三、 朴素贝叶斯分类原理

下面我们介绍怎么学习联合概率$P(Y=c_i,x)$，回顾一下贝叶斯公式：
$$P(A\mid B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

在分类问题中(这里先假设特征是离散的)，可以这样来看：
$$P(类别\mid 特征)=\frac{P(类别,特征)}{P(特征)}=\frac{P(特征|类别)P(类别)}{P(特征)}$$

用类别集合： Y = { y 1 , y 2 … , y n } \mathcal{Y}=\{y_1,y_2…,y_n\} Y={y1​,y2​…,yn​}和特征集合 X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x d } X=\{x_1,x_2,\cdots,x_d\} X={x1​,x2​,⋯,xd​}来写，后验概率计算如下：
$$P(y_i\mid X)=\frac{P(y_i,X)}{P(X)}=\frac{P(X|y_i)P(y_i)}{P(X)}=\frac{P(x_1,x_2\cdots x_d|y_i)P(y_i)}{P(X)}$$

观察一下最右边的式子：

• $P(x_1,x_2\cdots x_n|y_i)$：某个类别下特征的联合概率，特征组合比较多的话，比如每个特征$x_i$有两个取值，那么特征一共有$2^d$种组合，特征数比较多的话，样本中有些组合根本不会出现，所以不好算.
• $P(y_i)$：样本中每个类别的概率，可以从样本中直接统计频率当作概率（大数定理）.
• $P(X)$计算每一个类别的$P(y_i\mid X)$都有的，我们通过（1）式比较大小，相同的可以不用计算.

条件独立性假设

刚刚提到$P(X|y_i)=P(x_1,x_2\cdots x_n|y_i)$是联合概率，不好求，所以朴素贝叶斯分类做了一个很强的假设：假设特征是相互独立的！(所以叫朴素贝叶斯），那么联合概率就能拆开了：
$$P(y_i\mid X)=\frac{P(x_1,x_2\cdots x_d|y_i)P(y_i)}{P(X)}=\frac{P(y_i){\prod }_{j=1}^{d}P(x_j|y_i)}{P(X)}$$

这样给定特征后，可以在训练集中通过右边的公式计算每一类的概率，从而给出预测的类别。

四、 典例：垃圾邮件分类

1 实例

通过一封邮件的内容来判断是正常邮件还是垃圾邮件，由后验概率$P(\hat{y}|X)$的形式我们知道

• 这个问题特征$X$为邮件的内容；
• $\hat{y}$：垃圾邮件或者不是垃圾邮件两种取值；

特征是每封邮件的内容，而内容我们可以细分为句子，而句子可以进一步细分为词。如下面垃圾邮件截图：

以这句话为例，设这句话分词集合为$X$,判断是不是垃圾邮件，计算：
$$P(垃圾邮件|X)=\frac{P(X|垃圾邮件)P(垃圾邮件)}{P(X)}=\frac{P(垃圾邮件){\prod }_{j=1}^{n}P(x_j|垃圾邮件)}{P(X)}$$
假设训练集给出24封垃圾邮件和24封正常邮件，则

• $P(垃圾邮件)=\frac{1}{2}$.
• 而${\prod }_{j=1}^{n}P(x_j|垃圾邮件）$就去统计训练集中垃圾邮件这些词出现的概率：
  $$P(x_j|垃圾邮件）=\frac{|x_j|}{n},$$
  其中$|x_j|为词x_j$在垃圾邮件中出现的次数，n为垃圾邮件的总词数，用频率估计概率。
• 前面我们说过$P(X)$对于每一类来说都是一样的，所以可以不计算相同的这一项!

2 拉普拉斯平滑

而这里有个问题是，如果有一个词在训练集中没有出现过，那么$P(x_j|垃圾邮件)=0$导致整个$P(垃圾邮件|X)=0$，这显然不合理，所以我们需要平滑。

零概率问题，就是在计算实例的概率时，如果某个量x，在观察样本库训练集中没有出现过，会导致整个实例的概率结果是0。在文本分类的问题中，当一个词语没有在训练样本中出现，该词语调概率为0，使用连乘计算文本出现概率时也为0。这是不合理的，不能因为一个事件没有观察到就武断的认为该事件的概率是0。

为了解决零概率的问题，法国数学家拉普拉斯最早提出用加1的方法估计没有出现过的现象的概率，所以加法平滑也叫做拉普拉斯平滑。 假定训练样本很大时，每个分量x的计数加1造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题。

所以在垃圾邮件分类的问题中，可以得到：
$$P(x_j|垃圾邮件）=\frac{|x_j|+1}{n}$$
其中$|x_j|为词x_j$在垃圾邮件中出现的次数，n为垃圾邮件的总词数。

五、朴素贝叶斯的两种模型

上面的例子我们假设特征取值是离散值，当特征取连续值时，概率的计算方式不同。而根据特征的取值不同，朴素贝叶斯可以分为两种模型：

1. 多项式模型(multinomial model)：特征取值为离散值；
2. 高斯模型(Gaussian model)：特征取值为连续变量.

1 多项式模型

在多项式模型中，特征取值为离散值，概率计算就同上面一样，统计每一个特征的频率当作概率。该模型常用于文本分类，特征是单词，值是单词的出现次数。设某文档 d = { t 1 , t 2 , . . . , t k } d=\{t_1,t_2,...,t_k\} d={t1​,t2​,...,tk​} ，其中$t_i$为在该文档d中出现的单词，允许重复，上面垃圾邮件分类就属于多项式模型。

2 高斯模型

当特征是连续变量的时候，运用多项式模型就会导致很多0（不做平滑的情况下），此时即使做平滑，所得到的条件概率也难以描述真实情况。所以处理连续的特征变量，应该采用高斯模型。

高斯朴素贝叶斯模型是假设每个特征的条件概率$P(x_i\mid y_i)$ 服从高斯分布$N\left({\mu }_t,{\sigma }_t^2\right)$。在 $c$ 类下第 $\mathrm{i}$ 个词对应的高斯分布为:
$$P(x_i\mid y_i)=\frac{1}{{\sigma }_{i,y_i}\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\left(x_i-{\mu }_{i,y_i}\right)}^2}{2{\sigma }_{i,y_i}^2}}$$
其中, ${\mu }_{i,y_i}，{\sigma }_{i,y_i}^2$ 表示$y_i$类下第 $\mathrm{i}$ 个特征的均值和方差。所以关键是对高斯分布的均值和方差的估计，采用的方法极大似然估计，由概统的知识可得：

• 均值的估计 ${\mu }_{i,y_i}$ 是在样本类别 $y_i$ 中，所有 $x_i$ 的平均值；
• 方差的估计 ${\sigma }_{i,y_i}^2$ 为样本类别 $y_i$ 中所有 $x_i$ 的方差；

对于一个连续的样本值, 带入高斯分布,就可以求出它的概率分布了,所有参数估计完成之后，就可以计算给定样本的条件概率 $P\left(x_1,x_2\cdots ,x_d\mid y_i\right)$ ，进而可以计算 $P(y_i)P\left(x_1,x_2\cdots ,x_d\mid y_i\right)$，之后就可以确定样本类别，完成模型预测。

六、参考资料

1. 周志华.机器学习.清华大学出版社，2016.
2. 朴素贝叶斯分类算法
3. 朴素贝叶斯原理
4. 朴素贝叶斯之拉普拉斯平滑