2024东三省深圳杯A题详细思路代码分析：多个火箭残骸的准确定位_多个火箭残骸的准确定位数据

深圳杯数学建模挑战赛2024A题
多个火箭残骸的准确定位

问题1 建立数学模型，分析如果要精准确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标（经度、纬度、高程）和时间，至少需要布置几台监测设备？假设某火箭一级残骸分离后，在落点附近布置了7台监测设备，各台设备三维坐标（经度、纬度、高程）、音爆抵达时间（相对于观测系统时钟0时）如下表所示：
设备 经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s)
A 110.241 27.204 824 100.767
B 110.780 27.456 727 112.220
C 110.712 27.785 742 188.020
D 110.251 27.825 850 258.985
E 110.524 27.617 786 118.443
F 110.467 27.921 678 266.871
G 110.047 27.121 575 163.024
从上表中选取合适的数据，计算残骸发生音爆时的位置和时间。

思路
对于单台设备而言，利用其设备三维坐标（经度、纬度 、高程）、音爆抵达时间 （相对于观测系统时钟0时）可以建立关于空中设备发生音爆的时间 与三维坐标 的二次方程组：

其中为空气中音速。
对于拥有四个未知数的方程，求解至少需要四个方程，因此我们至少需要选取七台设备中的四台才能保证求解，（尽管的限制可以帮助排除一些不符合实际的解）。
求解之后的结果应该带回剩余三台的数据进行验证，查看结果是否合理。

问题2 火箭残骸除了一级残骸，还有两个或者四个助推器。在多个残骸发生音爆时，监测设备在监测范围内可能会采集到几组音爆数据。假设空中有4个残骸，每个设备按照时间先后顺序收到4组震动波。建立数学模型，分析如何确定监测设备接收到的震动波是来自哪一个残骸？如果要确定4个残骸在空中发生音爆时的位置和时间，至少需要布置多少台监测设备？

问题2 思路
类似问题1的思路，4个残骸将产生16个未知变量，因此至少需要16个方程才能求解。但是一个更严重的问题是无法确定音爆到达时间与各个残骸的先后顺序，因此需要更多的条件来确定监测设备接收到的震动波是来自哪一个残骸。这一问题可被视为一个多源定位和信号关联问题。这里的主要步骤和用到的方法包括信号时间延迟估计、数据关联和优化求解。
要确定哪个音爆信号对应于哪个残骸，这是通过解决一个优化问题实现的。关键是建立一个成本函数来最小化预测和实际接收时间之间的误差，并使用数据关联技术（如匈牙利算法、最近邻搜索等）来确定最佳匹配。

实现多源定位
初始化：使用简单的估计或先验信息作为初始猜测。
迭代优化：使用非线性最小二乘法、粒子群优化或其他全局优化方法来精确确定每个残骸的位置和时间。
因此，我们将利用所有7台设备的信息来减小预测的误差，提高进度。

问题3 假设各台监测设备布置的坐标和4个音爆抵达时间分别如下表所示：
设备 经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s)
A 110.241 27.204 824 100.767 164.229 214.850 270.065
B 110.783 27.456 727 92.453 112.220 169.362 196.583
C 110.762 27.785 742 75.560 110.696 156.936 188.020
D 110.251 28.025 850 94.653 141.409 196.517 258.985
E 110.524 27.617 786 78.600 86.216 118.443 126.669
F 110.467 28.081 678 67.274 166.270 175.482 266.871
G 110.047 27.521 575 103.738 163.024 206.789 210.306
利用问题2所建立的数学模型，从上表中选取合适的数据，确定4个残骸在空中发生音爆时的位置和时间（4个残骸产生音爆的时间可能不同，但互相差别不超过5 s）。

问题3 思路
利用问题2的模型进行求解并将（4个残骸产生音爆的时间可能不同，但互相差别不超过5 s）这一信息考虑进入，可以去除一些不确定情形。

问题4 假设设备记录时间存在0.5 s的随机误差，请修正问题2所建立的模型以较精确地确定4个残骸在空中发生音爆时的位置和时间。通过对问题3表中数据叠加随机误差，给出修正模型的算例，并分析结果误差。如果时间误差无法降低，提供一种解决方案实现残骸空中的精准定位（误差 km），并自行根据问题3所计算得到的定位结果模拟所需的监测设备位置和音爆抵达时间数据，验证相关模型。

问题4 思路
0.5s的误差带来了更大的不确定性与精度的挑战。首先，假设记录时间的误差遵循均匀分布，范围为±0.5秒。即每个记录时间的真实值在观测值前后0.5秒的范围内是等可能的。并且我们将利用四个残骸的音爆发生时间互相之间差别不超过5秒这一信息来限制和优化数据关联的搜索空间。
使用声波传播方程来建立模型，但在计算中包含时间误差

改进的模型中不同的点是利用时间窗口: 对每个监测设备接收到的音爆信号，我们使用相对时间差（最多5秒的时间窗）来识别可能来自同一残骸的音爆。这有助于减少因时间误差带来的关联错误。
优化求解
1
2

使用更复杂的优化算法来解决这个包含误差项的非线性最小化问题。可以采用蒙特卡洛方法或概率优化算法（如贝叶斯优化方法），以处理不确定性和随机误差。最后再将数据带入观测信息中进行验证。

附 震动波的传播速度为340 m/s，计算两点间距离时可忽略地面曲率，纬度间每度距离值近似为111.263 km，经度间每度距离值近似为97.304 km。

##【腾讯文档】2024东三省深圳杯助攻合集
##https://docs.qq.com/doc/DVVVVZ05oR2tZa2x5```

1
2
3