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主成分分析

主成分分析是一种数据降维方式，他将大量相关变量转化为一组很少的不相关的变量，这些不相关的变量称为主成分。

人话版：给你发一个由18位数字组成的身份证号码，第1、2位数字表示所在省份的代码；第3、4位数字表示所在城市的代码；第5、6位数字表示所在区县的代码；第7-14位数字表示出生年、月、日；第15-17位数字为顺序码，表示同一区域内同年同月同日出生的顺序号，其中第17位数字表示性别，奇数表示男性，偶数表示女性；第18位数字是校检码，校检码可以是0-9的数字，有时也用x表示，X是罗马数字的10。
这一串数字最后就可以表示你是哪个省的哪个市哪个县，出生日期和性别。
本来关于你的很多信息(变量)抽象成了一串数字(主成分PC)，就可以表示你的很多信息了。<==我觉得像是在打包，具体的降维过程和算法参见博客。

brief

实例

在这个数据集USJudgeRatings中，每一行为一个律师，每一列对应着这个律师某一方面的一些评价打分，可以用较少的变量代替上述的列变量吗？大约多少个合适？如何计算呢？

判断需要多少个主成分数目

• 直接指定
• 根据方差累积的阈值判断，也就是多少个PC之后对数据的方差解释贡献度较小 ⇐ 这个方法最常用
• 根据相关性矩阵判断大概可以聚成几个类

下面使用手肘法和平行分析判断选取多少个PC

• 手肘法–碎石图
  可以简单理解为Y轴是PC个数，X轴是累积方差解释度，陡峭拐点之前的哪些PC对数据的方差解释度最好，可以选取这些PC进行后续分析。
• 平行分析
  模拟一个相同大小的K*K的随机数矩阵，计算他们的平均特征值，若真实数据的特征值大于模拟数据的平均特征值，对应的PC则可以保留下来。

library(psych)
fa.parallel(USJudgeRatings[,-1], fa="pc", n.iter=100,
+             show.legend=FALSE, main="Scree plot with parallel analysis")
1
2
3

蓝色线是碎石图，component number等于2的时候是拐点，所以PC=1或者2都可以
红色线是平行分析模拟出来的平均特征值分布曲线，只有component number等于1时，真实数据的特征值才大于模拟数据的特征值，综合来看可以让PC=1.

提取主成分

principal函数可以根据原始矩阵或者相关性系数矩阵做主成分分析，需要注意NA值以及太多的zero值的影响。

• 上述的截图中包含了成分载荷，指观测的变量与主成分的相关系数，
  形如 PC1 = 0.92 * INTG + 0.91 * DMNR… ，该等式用于计算PC得分，其中0.92，0.91，0.97称为载荷。
• 上面那个matrix PC1列是成分载荷，h2列表示成分公因子方差，即主成分对每个变量的方差解释度。u2表示成分唯一性，即方差无法被主成分解释的部分(1-h2)。
• 上述变量中体能(PHYS) 80 %的方差都可以被第一主成分解释，相比而言也是第一主成分表示性最差的变量
• SS loadings 行包含了与主成分相关连的特征值，指的是与特定主成分相关连的标准化后的方差值。
• Proportion Var 表示的是每个主成分对整个数据集的解释度。

主成分旋转

旋转是让成分载荷矩阵变得更容易解释的数学方法，它们尽可能地对成分降噪。
目前有两种旋转方法，一是让成分保持不相关（正交旋转），二是让他们变得相关（斜交相关）。
最流行的是正交旋转中的方差最大旋转法，即让每一列的载荷只有很大的几个载荷，其他都是很小的载荷

因为需要正交旋转，上述的数据集只有一个PC不好演示，我们换一个数据集。
Harman23.cor 数据集中的cov数据槽是一个305名女孩的身体指标的相关性系数矩阵。

fa.parallel(Harman23.cor$cov, n.obs=302, fa="pc", n.iter=100,
            show.legend=FALSE, main="Scree plot with parallel analysis")
1
2

• 不进行旋转
  
  PC1 = 0.86 * height + 0.84 * arm.span …
  PC2 = -0.37 * height -0.44 * arm.span … + 0.58 * chest.girth + 0.42 * chest.width
  PC1 与 PC2 可以解释身高 heigh 88%的方差
  proportion var 列表示 PC1 可以解释数据集 58%的方差，PC2 可以解释数据集 22%的方差，累加一起81%

• 进行旋转

• PC 变成了RC 表示以旋转
• 累计方差解释度没变，但是每个成分对数据集的方差解释度发生细微改变
• 前四个变量在RC1中相关性/贡献度比较大，在RC2中贡献度较小，和未旋转的结果很类似，尤其你看h2那一列数据，旋转和未旋转是一样的。那旋转的好处是什么呢？降噪 – 变量的贡献度分化了，大的变大，小的变小，一眼看出来差别了。

获取主成分得分

输入是原始数据

输入是相关性矩阵