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两人轮流投硬币概率问题和线段三分构成三角形概率问题_甲乙两人轮流投币,首先连续出现两次正面朝上者胜出,问甲先投的获胜概率

甲乙两人轮流投币,首先连续出现两次正面朝上者胜出,问甲先投的获胜概率

问:甲乙两人轮流投硬币,先投出正面的赢,如果甲先扔硬币,那么甲获胜的概率是多少?

不妨把甲乙每都扔一次看作一轮
第一轮,甲赢:1/2,乙赢:1/2*1/2=1/4
第二轮,甲赢:1/2*1/2*1/2=1/8,乙赢:1/2*1/2*1/2*1/2=1/16
第三轮,甲赢:1/16*1/2=1/32,乙赢:1/32*1/2=1/64
.......


其实我们不妨这样看:先只管甲赢,首先甲抛到正的概率是二分之一,假如其抛的是反面(概率是二分之一),则只有在乙也抛反面的情况下(概率是二分之一),甲才有机会抛第二轮,并且甲第二轮赢的概率是1/2*1/2*1/2,就是八分之一(甲反乙反甲正),再次(甲反乙反甲反乙反甲正)概率三十二分之一,....
所以这是个无限等比数列,首项是二分之一,公比是四分之一 ,
即,甲赢的概率为此等比数列的所有项的和,
1/2+1/8+1/32+1/128+...求极限为2/3
所以甲赢的概率是2/3,乙是1/3

 

问:将一条线段任意分成三段,这三段能构成三角形三边的概率为为多少

不妨设这条线段的长为10,再设三段长分别为x,y,10-x-y

则线段随机地分成3段x,y的约束条件为

若这三段能够构成三角形,x,y的约束条件为:

将这两种约束条件表示在坐标系中:

显然可以发现把一条线段随机地分成三段,
这三段能够构成三角形的概率

 

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