最优二叉搜索树java_动态规划方法生成最优二叉查找树

1、概念引入

基于统计先验知识，我们可统计出一个数表(集合)中各元素的查找概率，理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条(单字、词组等)的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题：查找过程中键值比较次数最少，或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码(键值)。为解决这样的问题，显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。

2、问题给出

n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T

1

n ，求这棵树的平均查找次数C[1, n](耗费最低)。换言之，如何构造这棵最优BST，使得C[1, n] 最小。

3、分段方法

动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算，后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题，利用减一技术和最优性原则，如果前n-1个节点构成最优BST，加入一个节点

an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归，问题可解。自底向上计算：C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点，它的左子树为Tik-1，右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。(根的生成过程)

4、递推计算式

5、基本算法如下

6、具体实现代码(其中所有数据都存放在2.txt中，其内容为：

其中5表示有5个节点，其他数据表示各个节点出现的概率：

#include

#include

#define max 9999

void OptimalBST(int,float*,float**,int**);

void OptimalBSTPrint(int,int,int**);

void main()

{

int i,num;

FILE *point;

//所有数据均从2.txt中获取，2.txt中第一个数据表示节点个数；从第二个数据开始表示各个节点的概率

point=fopen("2.txt","r");

if(point==NULL)

{

printf("cannot open 2.txt.\n");

exit(-1);

}

fscanf(point,"%d",&num);

printf("%d\n",num);

float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));

for(i=1;i

fscanf(point,"%f",&p[i]);

//创建主表；

float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));

for(i=0;i

c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));

//创建根表；

int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));

for(i=0;i

r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));

//动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。

OptimalBST(num,p,c,r);

printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]);

//给出最优二叉查找树的中序遍历结果；

printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为：");

OptimalBSTPrint(1,4,r);

}

void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r)

{

int d,i,j,k,s,kmin;

float temp,sum;

for(i=1;i

{

c[i][i-1]=0;

c[i][i]=p[i];

r[i][i]=i;

}

c[num+1][num]=0;

for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列

{

for(i=1;i<=num-d;i++)

{

j=i+d;

temp=max;

for(k=i;k<=j;k++)//找最优根

{

if(c[i][k-1]+c[k+1][j]

{

temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];

kmin=k;

}

}

r[i][j]=kmin;//记录最优根

sum=p[i];

for(s=i+1;s<=j;s++)

sum+=p[s];

c[i][j]=temp+sum;

}

}

}

//采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。。。

void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r)

{

int k;

if(first<=last)

{

k=r[first][last];

printf("%d ",k);

OptimalBSTPrint(first,k-1,r);

OptimalBSTPrint(k+1,last,r);

}

}

7、最终运行结果：

8、参考文献：

(1)算法导论

(2)数据结构 严蔚敏

(3)网上下载的一个ppt(算法设计与分析，第八章)