凸多边形最优三角剖分（算法设计：动态规划）_凸多边形的最优三角剖分,按照三步,采用动态规划去解决

一、动态规划

      和分治法类似，把原问题划分成若干个子问题，不同的是，分治法（子问题间互相独立），动态规划（子问题不独立）

      动态规划：

（1）找出最优解的性质，刻画其结构特征

（2）递归地定义最优值

（3）自底向上，计算最优值

（4）构造最优解

动态规划算法的基本性质有:最优子结构性质和子问题重叠性质

二、凸多边形最优三角剖分

三角剖分将多边形分割成互不想交的三角形的弦的集合

权函数定义在多边形的边和弦

最优三角剖分：弦的和值最小

主要的思路：动态规划的思想就是，找出最优解的性质，刻画其结构特征,递归地定义最优值，自底向上，计算最优值，构造最优解

是一种自底向上的算法，最优三角剖分类似于矩阵连乘，唯一不同的就是最后w的部分，w是指Vi-1Vk,VkVj,Vi-1Vj三条边的加和，最好画图加以辅助理解，不然很难思考

(1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。

    (2)最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

     凸多边形三角剖分如下图所示：

          2、最优子结构性质：

     若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示：

          可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。

         3、递推关系：

     设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值，即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权，子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权，子多边形{Vk，Vk+1……Vj}的权之和。

      因此，可得递推关系式：

     凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。

     

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