Polar码快速入门

Polar码快速入门

本科生在学习极化码时，并不是件简单的事情。网上极化码的资料很少，而且基本上都是较难的论文。这篇文章是用来帮你快速入门极化码。

Polar码背景

2015 年，国际电信联盟无线通信部（International Telecommunication Union-Radio Communications Sector，ITU-R）明确了未来 5G三大典型应用场景，分别为：

1. 增强型移动宽带（enhanced mobile broadband，eMBB）场景。要求支持更高的传输速率（峰值速率：上行链路达到 10 Gbit/s，下行链路达到 20 Gbit/s）、更高的频谱效率（峰值频谱效率：上行链路达到12 bit/(s·Hz)，下行链路达到 30 bit/(s·Hz)）等。

2. 大规模机器类通信（massive machine type communication，mMTC）。要求支持更大连接数密度（$1×10^6$个连接$/km^2$）、更低能耗（终端电池使用寿命达到 15 年）；

3. 场景和超高可靠性低时延通信（ultra-reliable and low latency communication，uRLLC）场景。要求支持更低的时延（上下行链路时延 0.5 ms，即端到端时延低于 1 ms）、更高的可靠度（达到 99.9999%，即 1 ms 内的误帧率低于$10^{-6}$）、更低的错误平层等。

而4G 中采用的信道编码方案 Turbo 码因在可靠性（Turbo 码存在译码错误平层）、编译码复杂度、译码吞吐量和编码效率等方面难以有效满足 5G 场景下的各种性能要求。亟需为 5G 新空口（new radio，NR）设计更加先进高效的信道编码方案，以尽可能小的业务开销实现信息快速可靠传输。

目前，国内外研究机构已针对 5G 信道编码技术开展了大量研究，并已达成部分共识。Polar 码因其理论证明可达到香农极限，且具有可实用的线性复杂度编译码能力而受到业界重视，成为5G NR信道编码方案的强有力候选者。在 2016 年 11 月召开的 3GPP RAN1#87 次会议上确定eMBB场景的 5G 短码块信道编码方案采用 Polar 码作为控制信道编码方案。

Polar码概述

2008 年，土耳其毕尔肯大学 Arikan 教授在国际信息论（International Symposium on Information Theory，ISIT）会议上首次提出信道极化（channel polarization）的概念。Polar码的核心思想是信道极化，不同的信道对于极化方法也有区别。

2009 年，Arikan教授在中对信道极化进行更为详细的阐述，并基于信道极化思想提出一种新型信道编码方法，即 Polar 码。 Arikan 分析了 Polar 码的极化现象，并给出 Polar 码在二元删除信道（binary erasure channel，BEC）中的具体构造方法以及编译码过程。

考虑到 Arikan E 给出的 Polar 码构造方法仅适用于 BEC 信道，具有较大的局限性，Mori 和 Tanaka 等人借鉴低密度奇偶校验（low-density parity-check，LDPC）码的构造方法，提出采用密度进化（density evolution，DE）方式构造 Polar 码，以适用于任意二进制离散无记忆信道（binary discrete memoryless channel，B-DMC）。我们这节课主要研究对象就是B-DMC。

我们这节课主要讲述：

1. 信道极化：信道合并和分解
2. Polar码的编码方式
3. Polar码的译码方式（简略）

信道极化

信道极化：包括信道合并和信道分解。

当合并信道的数目趋于无穷大时，一部分信道将趋于无噪信道，另外一部分则趋于全噪信道，这种现象就是信道极化。

无噪信道的传输速率会达到信道容量$I(W)$，而全噪信道的传输速率趋于0。Polar码的编码策略正是应用了这种现象的特性，利用无噪信道传输用户的有用信息，全噪信道传输约定的信息或者不传信息。

规定：

对任意$N=2^n(n \geqslant 0)$个独立的B-DMC信道$W$，使用递归的方式，合并成$W_N$；然后再将$W_N$拆分为相关的信道$\left \{ W_N^{(i)}: 1\leqslant i \leqslant N \right \}$，就是信道极化现象的具体实现过程。

我们总结一下：
原先有N个性质相同的B-DMC信道，现在通过信道合并--信道分解的形式，得到了$W_N^{(1)} \rightarrow W_N^{(N)}$新的N个信道，这N个信道中，就有无噪和全噪信道，然后我们就能利用这N个不同性质的信道进行信息传输。

信道合并

B-DMC信道： $W: X \rightarrow Y$，其中，$x=(x_1, x_2 \cdots)$表示输入向量集合，$y=(y_1, y_2 \cdots)$表示输出向量集合。转移概率记为：$W (y|x),x \in X,y \in Y$。

信道合并：对N个互相独立的B-DMC信道$W$合并，生成信道$W_N$，记作：$W_N : X^N \rightarrow Y^N$。其中，$X^N=(x_1, x_2 \cdots x_N)$表示输入序列，$Y^N=(y_1, y_2 \cdots y_N)$表示输出序列。信道的转移概率为$W^N(y_1^N | x_1^N) = \prod_{i=1}^N W(y_i | x_i)$。

下面，我们研究N值不同时，信道合并的具体过程。

（1）N = 1 时，$W_1 = W$，不用进行信道合并；

（2）N = 2时，$W_2: X^2 \rightarrow Y^2$。两个信道$W$组合成了$W_2$，也就是红筐所示的部分。具体组合方式如下：

这种由"$\oplus$"和走线构成的图成为长度为N的极化码的编码图，表示这张图的矩阵被称为生成矩阵$G_N$，比如当N=2时，$G_2=F=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$。$F$也被称为核心矩阵。

$(u_1, u_2)$为信源序列，也成为信源比特；$(x_1, x_2)$为输入的编码序列，即码字比特；$(y_1, y_2)$为输出序列。

从上图中，我们可以写出输入序列的表达式：$x_1=u_1\oplus u_2, x_2 = u_2$

我们也能看出，这个是个积信道。转移概率为：$W_2(y_1, y_2 | u_1, u_2) = W(y_1|u_1 \oplus u_2) W(y_2 | u_2)$

（3）N=4时，具体组合方式如下

如上图所示，$(W_2^{(1)}, W_2^{(1)}) \rightarrow (W_4^{(1)}, W_4^{(2)}), (W_2^{(2)}, W_2^{(2)}) \rightarrow (W_4^{(3)}, W_4^{(4)})$

转移概率为$W_4(y_1^4 | x_1^4) = W_2(y_1, y_2| u_1 \oplus u_2, u_3 \oplus u_4)W_2(y_3, y_4|u_2, u_4)$。

信源比特和码字比特的关系：$u_1^4 \rightarrow x_1^4$的映射关系表达式为：$x_1^4 = u_1^4G_4, G_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。

这个生成矩阵是怎么来的？直观上来说，可以把上面的式子进行矩阵运算（加法为模2加法），可得$(x_1, x_2, x_3, x_4)=(u_1 \oplus u_2\oplus u_3\oplus u_4, u_3 \oplus u_4, u_2 \oplus u_4, u_4)$这个结果就是图表反应的结果。如果从数学上来说，见下面一般情况的N的分析。

所以，组合信道$W_4$和原始信道$W^4$之间的转移概率可表示为：$W_4(y_1^4 | x_1^4) = W^4(y_1^4|u_1^4G_4)$

（4）将上述结论类比到任意N，两个独立信道 $W_{\frac {N}{2}}$ 可以通过信道组合转换成原道$W_{N}$。

可以参考下图理解一下这个规律：长度为N的极化码编码图的最左列是竖着排列的$N/2$个长度为2的极化码的编码图，所以这$N/2$个长度为2的极化码的第一个码字比特$(u_1 \oplus u_2, u_3 \oplus u_4 \cdots u_{N-1} \oplus u_N)$被置换到上一半（红框表示部分），而第二个码字比特被置换到下一半（绿框表示部分）。

$u_1^N \rightarrow x_1^N$可表示为$x_1^N=u_1^NG_N$。

$G_N = B_NF^{\otimes n}$为N阶生成矩阵。

其中，$B_N$为N阶比特反转矩阵，实现倒位功能。$B_N=R_N(I_2 \otimes B_{N/2})$，$I_2 = F^2$，$R_N$是个排列运算矩阵。

核心矩阵$F=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$，$F^{\otimes n}$为矩阵F的n阶克罗内克积。

1. 排列运算矩阵$R_N$。举例来说：$(a_1, a_2, \cdots, a_N)R_N = (a_1, a_3,a_5,\cdots,a_{N-1},a_2,a_4,\cdots,a_N)$。
   比如N=4时，$R_N=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix}$。也就是在每列的1，3，……，2，4……对应位置为1，其余为0

2. 克罗内克积。比如$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3&4 \end{bmatrix}, A \otimes F=\begin{bmatrix} 1F & 2F \\ 3F&4F\end{bmatrix}$，然后在对应位置展开即可。

如果感兴趣，用上面这些公式可以验证一下N=4时的生成矩阵。

组合信道和原始信道的转移概率为：$W_N(y_1^N|u_1^N) = W^N(y_1^N | u_1^N G_N)$

信道分解

信道分解过程是将组合信道$W_N$分裂成N个二进制输入比特信道$W_N^{(i)}$的过程。

我们先以N=2时为例。组合信道$W_2$分裂为$W_2^{(1)}, W_2^{(2)}$，即极化过程：$(W,W) \rightarrow (W_2^{(1)}, W_2^{(2)})$。

（1）传输信源序列$u_1$的极化信道$W_2^{(1)}(y_1, y_2 | u_1)$的转移概率为：

$W_2^{(1)}(y_1, y_2 | u_1) = P(y_1, y_2, u_1)/P(u_1)=\cdots = \frac {1} {2} \Sigma_{u_2}W(y_1|u_1 \oplus u_2)W(y_1 | u_2)$

（2）传输信源序列$u_2$的极化信道$W_2^{(2)}(y_1, y_2, u_1 | u_2)$的转移概率为：

$W_2^{(2)}(y_1, y_2, u_1 | u_2) = P(y_1, y_2, u_1, u_2)/P(u_2) = \cdots = \frac {1} {2} W(y_1|u_1 \oplus u_2)W(y_1 | u_2)$

上面的推导中省略了很多步骤。我们只需要了解结论，有兴趣的同学课下可以来找我要具体的过程。

那么，我们分解出的两个信道能满足极化信道的要求吗？接下来我们可以验证一下极化信道的特性。

由转移概率，我们可得$I(Y_1Y_2;U_1)+I(Y_1Y_2U_1;U_2)=2I(X_1;Y_1)=2I(W)$，其中$I(W)$表示信道$W$的互信息。这个式子表达的意思是：信道$W$的两次复用所能传递的信息等于极化信道$W_2^{(1)}$和$W_2^{(2)}$所能传递的信息的和，极化信道不会损失信息传输的能力。

$I(Y_1Y_2;U_1) \leqslant I(Y_1Y_2U_1;U_2)$，即$W_2^{(2)}$比$W_2^{(1)}$的传信能力大，也就是$W_2^{(2)}$比$W_2^{(1)}$有更大的容量，当码长趋于无穷时，计划信道的容量非0即1。这里具体的证明我们不再展开，通过两者的大小比较有个直观的认识即可。

推广到N，我们定义极化信道表达式为$W_N^{(i)}(\mathbf{y_1^N, u_1^{i-1}} | u_i)$，表示输入为$u_i$，输出是$\mathbf{y_1^N, u_1^{i-1}}$，也就是极化信道$W_N^{(i)}$能观察到W的输出$\mathbf{y_1^N}$和比特值$(u_1, u_2,\cdots,u_{i-1})$。这是因为极化码使用串行抵消译码，从$u_1$开始逐一估计信源比特，直到$u_N$，所以在译码$u_i$时，$(u_1, u_2,\cdots,u_{i-1})$的值都已经获得，被当作译码$u_i$所需要的反馈。

（二）Polar编码

根据信道极化现象，可将原本相互独立的N 个原始信道转化为 N 个信道容量不等的比特信
道。当 N 趋于无穷大时，一部分信道的容量趋于0，而另一部分信道的容量趋于 1。

假设 K 个信道的容量趋于 1，N-K 个信道的容量趋于 0，可选择 K 个容量趋近于 1 的信道传输信息比特，选择 N-K 个容量趋近于 0 的信道传输冻结比特，即固定比特，从而实现由 K 个信息比特到 N 个编码比特的一一对应关系，也即实现码率为 K/N 的Polar 码的编码过程。

具体编码方式可表示为$x_1^N=u_1^NG_N$。生成矩阵如何计算等问题在上面已经说过了。

Polar 码可由参数$(N,K A,u_{A^c})$的陪集$G_N$ 码定义。

$N=2^n$为码长；

K为信息比特个数，也就是无噪信道数；

A 为信息比特位置集合，A 中元素个数等于 K；

$A^c$为补集，也就是全噪信道的集合；

$u_{A^c}$为冻结比特所对应的序列，在$A^c$上传输的序列。由于冻结比特所在的信道特性极差，在信息传输过程中一般固定设为 0。

由于上述编码中的生成矩阵$G_N$中存在比特反转矩阵$B_N$，故该编码方式也称为比特反转编码。

在 3GPP 中已确定 Polar 码采用无比特反转编码，并把采用该编码方式得到的 Polar 码称为“基本Polar 码”，其生成矩阵为$G_N = F^{\otimes n}$

（三）Polar译码

极化码的译码基本方法主要有：连续消除(Successive Cancellation, SC) 译 码 、 置 信 传 播 (Belief Propagation, BP) 译 码 、 线 性 规 划 (Linear Programming, LP) 译 码 、 基 于 SC 列 表 (Successive Cancellation List, SCL)译码、最大似然(Maximum Likelihood, ML)译码等。

参考文献：《极化码讲义》-于永润编写。下载链接

ch9-极化码。http://staff.ustc.edu.cn/~wyzhou/chapter9.pdf

《面向 5G 新空口技术的 Polar 码标准化研究进展》：谢德胜、柴蓉等；重庆邮电大学移动通信重点实验室；2018−08−10