【数学建模】【2024年】【第40届】【MCM/ICM】【D题 五大湖的水位控制问题】【解题思路】

一、题目

（一） 赛题原文

2024 ICM Problem D: Great Lakes Water Problem

Background

The Great Lakes of the United States and Canada are the largest group of freshwater lakes in the world. The five lakes and connecting waterways constitute a massive drainage basin that contains many large urban areas in these two countries, with varied climate and localized weather conditions.

The lakes’ water is used for many purposes (fishing, recreation, power generation, drinking, shipping, animal and fish habitat, construction, irrigation, etc.). Consequently, a vast variety of stakeholders have an interest in the management of the water that flows into and out of the lakes. In particular, if too little water is drained or evaporates from the lakes, then flooding may occur and homes and businesses along the shore suffer; if too much water is drained, then large ships cannot travel through the waterways to bring supplies and support the local economy. The main problem is regulating the water levels such that all stakeholders can benefit.

The water level in each lake is determined by how much water enters and leaves the lake. These levels are the result of complex interactions among temperature, wind, tides, precipitation, evaporation, bathymetry (the shape of the lake bottom), river flows and runoff, reservoir policies, seasonal cycles, and long-term climate changes. There are two primary control mechanisms within the flow of water in the Great Lakes system – Compensating Works of the Soo Locks at Sault Ste. Marie (three hydropower plants, five navigation locks, and a gated dam at the head of the rapids) and the Moses-Saunders Dam at Cornwall as indicated in the Addendum.

While the two control dams, many channels and canals, and the drainage basin reservoirs may be controlled by humans, the rates of rain, evaporation, erosion, ice jams, and other water-flow phenomena are beyond human manipulation. The policies of local jurisdictions may have different effects than expected, as can seasonal and environmental changes in the water basin. These changes in turn affect the ecosystem of the area, which impacts the health of the flora and fauna found in and around the lakes and the residents that live in the water basin. Even though the Great Lakes seem to have a regular annual pattern, a variance from normal of two to three feet of water level can dramatically affect some of the stakeholders.

This dynamic network flow problem is “wicked” – exceptionally challenging to solve because of interdependencies, complicated requirements, and inherent uncertainties. For the lake’s problems, we have ever-changing dynamics and the conflicting interests of stakeholders.

Requirement The International Joint Commission (IJC) requests support from your company, International network Control Modelers – ICM, to assist with management and models for the control mechanisms (the two dams – Compensating Works and Moses-Saunders Dam as indicated in the Addendum) that directly influence water levels in the Great Lakes flow network. Your ICM supervisor has given your team the lead in developing the model and a management plan to implement the model. Your supervisor indicates there are several considerations that may help to achieve this goal starting with the building of a network model for the Great Lakes and connecting river flows from Lake Superior to the Atlantic Ocean. Some other optional considerations or issues your supervisor mentioned were:

• Determination of the optimal water levels of the five Great Lakes at any time of the year, taking into account the various stakeholders’ desires (the costs and benefits could be different for each stakeholder).

• Establishment of algorithms to maintain optimal water levels in the five lakes from inflow and outflow data for the lakes.

• Understanding of the sensitivity of your control algorithms for the outflow of the two control dams. Given the data for 2017, would your new controls result in satisfactory or better than the actual recorded water levels for the various stakeholders for that year? • How sensitive is your algorithm to changes in environmental conditions (e.g., precipitation, winter snowpack, ice jams)?

• Focus your extensive analysis of ONLY the stakeholders and factors influencing Lake Ontario as there is more recent concern for the management of the water level for this lake.

The IJC is also interested in what historical data you use to inform your models and establish parameters, as they are curious to compare how your management and control strategies compare to previous models. Provide a one-page memo to IJC leadership communicating the key features of your model to convince them to select your model.

（二）赛题翻译

问题D 五大湖的水位控制问题

美国和加拿大的五大湖是世界上最大的淡水湖群。这五个湖泊和相连的水道构成了一个巨大的流域，其中包含了这两个国家的许多大城市，气候和当地的天气条件各不相同。

湖区的水有多种用途(捕鱼、娱乐、发电、饮用、航运、动物和鱼类栖息地、建筑、灌溉等)。因此，各种各样的利益相关者都对流入和流出湖泊的水的管理感兴趣。特别是，如果从湖泊排出或蒸发的水太少，那么可能会发生洪水，沿岸的家庭和企业受到影响;如果排水过多，那么大型船只就无法通过水路运送补给，支持当地经济。主要问题是调节水位，使所有利益相关者都能受益。

每个湖泊的水位是由进出湖泊的水量决定的。这些水位是温度、风、潮汐、降水、蒸发、测深(湖底形状)、河流流量和径流、水库政策、季节周期和长期气候变化等复杂相互作用的结果。在五大湖系统的水流中有两种主要的控制机制:苏河水闸补偿工程。玛丽(三个水力发电厂，五个航行船闸和一个在激流顶端的闸门大坝)和康沃尔的摩西-桑德斯大坝，如附录所示。

虽然这两座控制水坝、许多渠道和运河以及流域水库可能是由人类控制的，但降雨、蒸发、侵蚀、冰塞和其他水流现象的速率是人类无法控制的。地方政府的政策可能会产生与预期不同的影响，流域的季节和环境变化也可能会产生不同的影响。这些变化反过来又会影响该地区的生态系统，从而影响湖泊内外动植物的健康以及生活在水盆中的居民。尽管五大湖似乎有一个规律的年度模式，但水位从正常水平的2到3英尺的变化会极大地影响一些利益相关者。这种动态的网络流量问题是“邪恶的”——由于相互依赖、复杂的要求和固有的不确定性，解决起来异常具有挑战性。对于湖泊的问题，我们有不断变化的动态和利益相关者的利益冲突。

要求国际联合委员会(IJC)请求贵公司国际网络控制建模师(icm)提供支持，协助管理和建模直接影响五大湖水网水位的控制机制(附录中所示的两座水坝-补偿工程和摩西-桑德斯大坝)。你的ICM主管已经让你的团队领导开发模型和实施模型的管理计划。你的导师指出，有几个考虑因素可能有助于实现这一目标，首先是为五大湖建立一个网络模型，并将从苏必利尔湖到大西洋的河流连接起来。你的导师提到的其他一些可选的考虑因素或问题是:

• 考虑到各个利益相关者的愿望(每个利益相关者的成本和收益可能不同)，确定五大湖区在一年中任何时候的最佳水位。
• 根据五大湖的流入和流出数据，建立算法以维持五大湖的最佳水位。
• 了解您的控制算法对两个控制坝的流出的敏感性。考虑到2017年的数据，对于各利益相关者来说，你的新控制方法是否会使当年的实际记录水位令人满意或更好? 你们的算法对环境条件(例如，降水、冬季积雪、冰塞)的变化有多敏感?
• 将您的广泛分析集中在影响安大略湖的利益相关者和因素上，因为最近对该湖的水位管理有更多的关注。
  IJC还对您使用什么历史数据来通知您的模型和建立参数感兴趣，因为他们很想比较您的管理和控制策略与以前的模型的比较。向IJC领导层提供一页备忘录，说明您的模型的关键特性，以说服他们选择您的模型。

二、赛题分析

这个数学建模赛题涉及管理美加大湖流域的水资源，主要考虑如何调节水位以满足各利益相关者的需求。解决这个问题需要建立数学模型来模拟大湖流域水流网络，并通过算法来优化水位调节，同时考虑到环境条件的变化对算法的影响。具体来说，需要考虑建立大湖流域水流网络模型、水位调节算法、以及环境条件变化对算法的影响分析模型。

针对第一个问题，需要建立一个大湖流域水流网络模型，考虑到湖泊进出水量、温度、风向、潮汐、降水、蒸发、河流流量等因素。可以利用网络流模型或动态系统模型来描述水流网络，考虑各个湖泊和河流之间的相互作用。然后通过最优化算法来确定各湖泊的最佳水位，以满足不同利益相关者的需求。

针对第二个问题，需要建立水位调节算法，根据进出水量数据来调节两个控制坝的出水量。可能的方法包括使用控制论方法或优化算法，根据历史数据建立水位调节模型，并评估模型对各利益相关者水位需求的满足程度。

针对第三个问题，需要评估算法对环境条件变化的敏感性，包括降水、冬季积雪、冰堵等因素。可以利用敏感性分析方法来评估算法对这些因素的响应程度，并提出相应的调整策略。

针对第四个问题，需要对安大略湖的利益相关者和影响因素进行深入分析，了解其水位管理的特点和挑战。可以利用数据分析方法来评估不同水位调节策略对各利益相关者的影响，并提出针对性的管理建议。

三、解题思路

（一）整体思路

1. 综合利益相关者需求分析与水位优化算法开发：建立多目标规划（MOP）模型，以包括不同利益相关者的需求为目标，如最大化渔业产值、最小化洪水风险、平衡航运需求等。采用模糊逻辑系统考虑不确定性，以维持五大湖泊的最佳水位。优化算法可采用进化算法（如遗传算法）进行多目标优化。
2. 控制大坝流出的灵敏度分析与新控制措施满意度评估：使用灵敏度分析工具，如Sensitivity Analysis Module（SAM）或SALib库，评估控制算法对流出的水位的敏感度。针对2017年的数据，建立基准情景，然后通过模拟引入新的控制策略，使用各利益相关者的满意度指标进行评估。
3. 算法对环境条件变化的敏感性分析：引入不同环境条件的模拟数据，包括降水、冬季积雪和冰塞等。通过Monte Carlo模拟等方法，模拟不同情景下的水位变化，分析算法对这些变化的敏感性。使用模糊逻辑系统来考虑环境变量的不确定性
4. 安大略湖的广泛分析与整体水位管理模型的建设：建立区域性水位管理模型，以安大略湖为焦点。采用系统动力学建模，整合该湖的地理、生态和社会经济特征。利用系统优化方法，结合其他湖泊的信息，建立一个区域性整体水位管理框架。

（二）第一问：综合利益相关者需求分析与水位优化算法

第一个问题涉及综合考虑不同利益相关者的需求，并从湖泊的流入和流出数据中建立维持五个湖泊最佳水位的算法。以下是详细分析：
目标：
建立一个多目标规划（MOP）模型，以综合考虑各利益相关者的需求，并优化水位以平衡不同目标。
步骤：

1. 利益相关者识别：确定涉及五大湖水位管理的主要利益相关者，包括但不限于渔业、娱乐业、发电厂、航运公司、居民、环保组织等。
2. 需求调查：进行定量和定性的调查，了解每个利益相关者的具体需求和关切。这可能包括对他们的经济、社会和环境利益的详细分析。
3. 目标定义：将不同利益相关者的需求转化为具体的目标。例如，最大化渔业产值、最小化洪水风险、保障航运的可行性等。
4. 多目标规划模型建立：使用MOP模型建立一个优化问题，将各利益相关者的目标结合，形成一个多目标函数。目标函数应该考虑各目标之间的权衡。
5. 模糊逻辑系统的引入：考虑到不同利益相关者需求的不确定性，引入模糊逻辑系统来处理模糊的、不确定的需求，使模型更具适应性。
6. 算法选择：选择合适的算法进行多目标优化。遗传算法是一种常用的方法，能够有效搜索多目标问题的非支配解集。
7. 模型验证与调整：使用历史数据进行模型验证，根据模型的性能对其进行调整和改进。验证过程应该涉及与利益相关者的交互，确保模型真实地反映了各方的需求。
8. 实时监测与更新：引入实时监测系统，通过不断收集新的数据和利益相关者的反馈，更新模型以适应变化的条件。

（三）第二问：控制大坝流出模型以及环境因素模型

1. 数据预处理：对收集到的湖泊流入和流出的数据进行清理和预处理。包括处理缺失值、异常值，进行数据插值和平滑，确保数据的质量和连续性。
2. 影响水位因素的权重确定：利用统计分析或专业知识，确定不同因素对水位的影响程度。例如，通过回归分析确定降水量和河流流量对水位的权重。
3. 目标函数的建立：基于确定的权重和影响因素，建立数学模型作为目标函数。例如，可以使用线性回归模型或神经网络模型，将流入和流出数据映射到期望的水位。
4. 水位调整算法的选择：选择合适的优化算法，例如遗传算法、粒子群优化或梯度下降，以优化目标函数，找到使得水位最优的参数组合。
5. 实时数据集成与模型更新：引入实时监测系统，定期或实时地收集湖泊的最新数据。将这些数据集成到建立的模型中，使用实时数据对模型进行更新，以反映湖泊当前的状态。
6. 灵敏度分析：对模型进行灵敏度分析，通过逐步改变输入参数，评估水位模型对不同输入变化的响应。这有助于确定哪些因素对模型输出的影响最为显著，以及模型的鲁棒性。
7. 模型验证与校准：使用历史数据对建立的模型进行验证，比较模型的预测结果与实际水位数据。如果存在偏差，进行模型参数的校准，确保模型更准确地反映湖泊的水位变化。
8. 环境条件变化的扩展：将模型扩展至考虑环境条件的变化，例如降水、冬季积雪和冰塞。通过引入相应的环境变量，使模型更全面地考虑不同的外部因素。

（四）第三问：安大略湖的广泛分析与整体水位管理模型的建设

1. 安大略湖的广泛分析

1. 地理特征：研究湖泊的地理特征，包括湖泊的大小、形状、水深和湖岸线的地形。这些特征会影响湖泊的水文循环和水位变化。
2. 气候条件：分析安大略湖所在地区的气候条件，包括降水模式、温度变化、风向和风速。这些因素直接影响湖泊水位的季节性和年际变化。
3. 水质与生态系统：考察湖泊水质情况，包括水温、溶解氧、营养盐等。了解湖泊的生态系统，包括植物、浮游生物和鱼类分布，以及它们对水位管理的影响。
4. 人类活动与利益相关者：调查湖泊周边的人类活动，包括城市发展、农业、工业和旅游。确定各类利益相关者，如居民、农民、产业企业等，了解他们对水位管理的期望和关切。
5. 历史水位变化：分析安大略湖过去几年的水位数据，找出水位的季节性变化和异常事件。了解历史水位变化对湖泊周边社区和生态系统的影响。

2. 整体水位管理模型的建设

1. 目标设定：确定整体水位管理的目标，包括满足各利益相关者的需求、保护生态系统、减少洪涝风险等。目标应该综合考虑湖泊的特性和周边社区的可持续发展。
2. 利益相关者参与：引入利益相关者参与的机制，通过会议、研讨会等形式收集各利益相关者的观点和建议。确保整体水位管理模型充分反映了多方利益。
3. 数据整合与模型构建：整合地理信息系统（GIS）、气象数据、水质监测数据等多源数据，构建包括湖泊水文循环、降水-蒸发过程、河流流量等的综合水文模型。采用系统动力学或基于物理过程的模型。
4. 多目标规划：建立多目标规划（MOP）模型，以最大化社会经济效益、保护生态系统、减少洪涝风险等为目标。将MOP模型融入整体水位管理决策中，综合考虑不同目标之间的权衡。
5. 实时监测系统：部署实时监测系统，利用传感器网络和遥感技术，实时收集湖泊水位、气象条件等数据。确保模型能够实时调整以适应湖泊及周边环境的变化。
6. 模型验证与优化：使用历史数据进行模型验证，优化模型参数以提高其准确性。通过灵敏度分析，评估模型对不同输入变化的敏感性，确保其鲁棒性。
7. 风险评估与预警系统：开发水位变化的风险评估模型和预警系统，及早发现潜在的水位异常情况，为决策者提供及时的应对措施。
8. 政策制定与实施：制定水位管理政策，并确保政策与模型结果相一致。制定紧急应对措施和长期发展规划，确保湖泊水位的可持续管理。