数列的极限_1/29作业1.2§1.2数列的极限1."对任意给定的& e (0,1),总存在正整数 n ,当 n

一、定义：

如果对于任意给定的 $\varepsilon$ > 0 , 总存在正整数N ，当n > N时，恒有|$x_{n} - a$| < $\varepsilon$ ，则称常数a是数列{$x_{n}$}在n -> ∞ 时，记为$\lim_{x\rightarrow \varpi } x_{n} = a$，如果不存在这样的常数a，则成为数列{$x_{n}$}发散

注：

（1）定义种的 $\varepsilon$ 是衡量与a无限接近的一个标准，所以 $\varepsilon$ 必须可以任意足够小；

（2）数列{$x_{n}$}是否有极限，如果有极限其极限值为多少，跟{$x_{n}$}的前有限的项无关

二、收敛数列的性质

性质1（极限的唯一性质）如果数列{$x_{n}$}收敛，那么它的极限唯一

性质2（收敛数列的有界性）如果数列{$x_{n}$}收敛，那么数列{$x_{n}$}一定有界。（反之不对）

性质3（收敛数列的包号性质）如果$\lim_{x\rightarrow \varpi } x_{n} = a$，且a>0（或者a<0），那么存在正整数N，当n>N时候，都有$x_{n}$ > 0（或$x_{n}$ < 0）

推论如果数列{${x_{n}}$}从某项起有$x_{n}$ >= 0 (或$x_{n}$ <= 0)，且$\lim_{x\rightarrow \varpi } x_{n} = a$，那么a >= 0 (或a <= 0)

性质4（列与子列的关系）如果{${x_{n}}$}收敛与a，那么它的任意一个子数列的极限都是a，这个子数列是无穷多项的并且要保持先后次序，例如n取奇数或者n取偶数的子数列