动态规划算法Dynamic Programming_动态规划算法被称为是时空权衡的一种策略,如何理解?

一、动态规划概述

动态规划常常与分治策略、贪心算法同时提及，三种算法都是通过组合子问题的解来求解原问题。在解决某些问题时，其子问题有大量的重叠情况，此时单纯使用分治策略会发现随着输入数据量的增大，运行时间呈指数级增长。动态规划是一种典型的用空间换时间的权衡策略。其核心思想就是将那些重复的子问题的解，记录下来，当需要再次相同子问题时，查表获取结果即可。动态规划通常用来求解最优化问题，适用问题通常有以下两个特点：1.具有最优子结构性质：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成。2.有大量的重叠子问题。二、钢条切割问题问题：Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。假设切割工序没有成本，不同长度的钢条的售价如下：

问题分析：考虑 n = 4 的情况，那么有以下几种切割方式：

1.切割为四段，长度为：1，1，1，1；总共卖41=4元。
2.切割为三段，长度为：1，1，2；总共卖21+15=7元。
3.切割为两段，长度为：1，3；总共卖11+18=9元。
4.切割为两段，长度为：2，2；总共卖25=10元。
5.不切割，长度为：4；总共卖1*9=9元。
更一般的，对于r（n），我吗可以利用更短的钢条的最优化切割收益来描述它：
r（n）=max{p（n），r（1）+r（n-1），r（2）+r（n-2），…，r（n-1）+r（1）}
p（n）对应不切割，直接出售长度为n英寸的钢条，其他n-1个参数对应另外n-1种方案：对每个i=1,2…n-1，首先将钢条提起过为长度i和n-i的两段，接着求解这两段的最优收益r（i）和r（n-i）（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和）。由于无法预知哪种方案会获得最优收益，我们必须考察所有可能i，选取其中收益最大者。如果直接出售最大，我们就不做任何切割。

二、自顶向下递归实现：

伪代码如下

infinity = 1e+16 #无穷大

CUT-ROD(p, n)
  if n == 0
      return 0
  q = -infinity
  for i = 1 to n
      q = max(q, p[i] + CUT-ROD(p, n-i))
  return q
1
2
3
4
5
6
7
8
9

（重复计算问题）

三、动态规划算法一：带备忘录的自顶向下法

伪代码如下

infinity = 1e+16 #无穷大

MEMOIZED-CUT-ROD(p, n)
  let r[0..n] be a new array
  for i = 0 to n
      r[i] = -infinity
  return MEMOIZED-CUT-ROD-AUX(p, n
1
2
3
4
5
6