循环冗余校验码CRC原理与LFSR循环码编码器原理_crc lfsr

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1 产生原理

循环冗余校验码Cyclic Redundancy Check（CRC）

简介：在发送端根据要传送的K位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码（CRC码），附在信息后面组成n=k+r位的码发出去。这种编码也叫（n,k）码。对于一个给定的（n,k）码，存在一个高次幂为r的多项式G(x)，根据多项式G(x)可以生成k位信息的校验码，G(x)叫做这个CRC码的生成多项式, 生成多项式的最高位和最低位必是1。

1.1 CRC可检测的错误？

• 突发长度小于n-k+1的突发错误；
• 大部分突发长度等于n-k+1的突发错误，其中不可检出的占2-(n-k-1)；
• 大部分突发长度大于n-k+1的突发错误，其中不可检出的占2-(n-k)；
• 所有与许用码组 码距 小于dmin-1的错误及所有奇数个错误。

1.2 CRC生成过程？

生成过程：发送信息C(x)左移r位，表示为C(x)×2^{r，C(x)右边空出的r位就是校验码的位置。通过C(x)×2}r模2除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

1.3 接收过程？

接收过程：

1. 计算CRC比较。
2. 收到的二进制序列（信息码+循环码）除以多项式，如果余数为0，则说明传输过程无错误发生。

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2 CRC 的计算

以输入数据0x5a，G(x)=x^8+x^2+x+1计算为例。

2.1 手算

首先了解模2运算：
模2加：0+0=0，0+1=1，1+1=0 -> a(模2加)b = a⊕b
模2减：0-0=0，0-1=1，1-0=1，1-1=0 -> a(模2减)b = a⊕b
模2乘：0×0=0，0×1=0，1×1=1
模2除：0/1=0，1/1=1

根据生成过程：C(x)×2^r模2除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
G(x)对应：0x107

运算过程减法为模2减，即异或运算。
设余数为R[8:0]，注意的是，当 R[7] 为1，下一商位为1，当 R[7] 为0，下一商位为0。
其他规则与正常二进制除法一致。

可以看到每次运算的结果：

最终的到的余数为：0x81，即我们需要的CRC码，0x5a编码之后为 0x5a|0x81。

2.1 在线计算器

CRC（循环冗余校验）在线计算

网页就有各参数的介绍。
需要注意的是

• POLY：生成项的简写，以16进制表示。忽略了最高位的"1"。
• INIT：这是算法开始时寄存器（crc）的初始化预置值，十六进制表示。手动计算过程初始值是0x00。

3 Verilog 实现

3.1 线性反馈移位寄存器（LFSR）循环码编码

以上的计算过程很多文章都有介绍，但是都没有介绍为什么是题目中的结构？
比如为什么 Verilog实现串行CRC-8，G(D)=D8+D2+D+1，电路结构如下？

其实这是线性反馈移位寄存器（LFSR）循环码编码。

引用《数字通信（第四版）John G.Proakis著.张力军译》8.1.3 循环码的内容：

对于CRC-8进行信源0x5a的校验，移位运算过程为：
信源数据的逐个输入等效于把0x5a（8’b01011010）移位后的 16’b0101_1010_0000_0000 拆分为：

1. 16’b0000_0000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 = 商0…余 R1:0000_0000

                                0
                 ________________________
   8’b1_0000_0111|16'b0000_0000_0000_0000
                 /-   0000_0000_0 
                     ____________
                 =R1: 0000_0000_0     
   1
   2
   3
   4
   5
   6

   

   这一步比较直观。所以在这我们就知道为什么在线计算器需要设置初始值？嘿嘿

2. 16’b0100_0000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R1 = 商1…余 R2: 0000_0111

                                01
                 ________________________
   8’b1_0000_0111|16'b0100_0000_0000_0000
                 /-    100_0001_11   
                  +R1: 0000_0000_0
                      ____________ 
                  =R2: 0000_0011_1
                       
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8

   

   这一步值得注意的是生成多项式为0的位可以想象有一个C_(i-1) ⊕ 0，只不过与结果为C_(i-1)省略了，因为加减都是等效于异或，以此实现加上上一步的余数减去因式。

3. 16’b0000_0000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R2 = 商0…余 R3:0000_1110:

4. 16’b0001_0000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R3 = 商1…余 R4:0001_1011:

5. 16’b0000_1000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R4 = 商1…余 R5:1000_1100:

6. 16’b0000_0000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R5 = 商0…余 R6:0110_0010:

7. 16’b0000_0010_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R6 = 商1…余 R7:1100_0001:

8. 16’b0000_0000_0000_0000 模2除 9’b1_0000_0111 ⊕ R7 = 商1…余 R8:1000_0001:

可以看到，这其实就是对应我们模2除运算的过程。

3.2 Verilog代码

OutputLogic可以在线生成CRC代码，我们在生成的基础上改就好了。