抛物型方程向前差分matlab,抛物型方程数值解.pdf

数学与计算科学学院 实 验 报 告 实验项目名称实验项目名称抛物型微分方程数值解 所属课程名称所属课程名称微分方程数值解 实 验 类 型实 验 类 型验证性 实 验 日 期实 验 日 期2015 4 23 班级班级信计 12 2 班 学号学号201253100212 姓名姓名黄全林 成绩成绩 第 1 页 共 17 页 一 实验概述 一 实验概述 实验目的 实验目的 掌握抛物型方程的有限差分法 并学会应用有限差分法求解抛物型方程数值解 的 MATLAB 实现 本文利用向前差分法求解抛物型方程的数值解 实验原理 实验原理 抛物型方程的先前差分法求解 方程离散 NnJjt h uuuuu n n j n j n j n j n j 1 1 1 sin 2 2 11 1 边值条件 0 j 1 00101 11 2 2 sin nnnnn nn n uuuuu t uu h Jj 1 11 11 2 2 sin nnnnn nn JJJJJ nJJ uuuuu t uu h 初值条件 1 0 cos 0 Jjxxu jj 实验环境 实验环境 1 硬件环境1 硬件环境 第 2 页 共 17 页 2 2 软件环境2 2 软件环境 MATLAB7 0MATLAB7 0 二 实验内容 二 实验内容 实验过程 实验步骤 实验任务 实验过程 实验步骤 实验任务 求解一维抛物方程的初边值问题 2 2 2 sin 01 t0 0 t1 0 t0 x 0cos 01 cos1 cos xx t uu tx xx uut uxx uext 精确解 利用向前差分法求解 利用 MATLAB 进行求解 编辑函数文件 hql xiangqianchafen m 源程序见附录 编辑调用函数 hql xiangqianchafen h m n kmax ep 的脚本文件 并作出相 应的求解曲面 精确解曲面和误差曲面图形 hql paowufangcheng m 源程序见附录 运行上述 hql paowufangcheng m 文件 1 当空间步长为 0 1 时间步长为 0 005 时 结果如下 第 3 页 共 17 页 求解曲面 精确解曲面 误差曲面 第 4 页 共 17 页 通过相应曲面的对比 可以发现 此时精确解与数值解图形逼近效果明显趋同 下面分别固定空间 x 和时间 t 观察数值解与精确解的逼近程度 A 时间固定 空间 x 与 u 的关系 数值解 精确解 第 5 页 共 17 页 误差 数值解与精确解在 x 方向上的走势趋同 B 空间 x 固定 观察时间 t 与 u 的走势 结果如下 第 6 页 共 17 页 数值解 精确解 误差 第 7 页 共 17 页 可以看出在时间方向基本趋同 2 缩小步长 观察对输出的影响 取空间步长为 0 1 时间步长为 0 001 输 出结果为 求解曲面 第 8 页 共 17 页 精确解曲面 误差曲面 第 9 页 共 17 页 通过相应曲面的对比 可以发现 此时精确解与数值解图形逼近效果明显趋同 下面分别固定空间 x 和时间 t 观察数值解与精确解的逼近程度 B 时间固定 空间 x 与 u 的关系 数值解 第 10 页 共 17 页 精确解 误差 数值解与精确解在 x 方向上的走势趋同 第 11 页 共 17 页 B 空间 x 固定 观察时间 t 与 u 的走势 结果如下 数值解 精确解 第 12 页 共 17 页 误差 可以看出在时间方向基本趋同 第 13 页 共 17 页 实验小结 收获体会 实验小结 收获体会 通过此次上机亲自体验 使我对于数值计算有了更加深刻的认识 同时 我也感 觉自己的编程能力还有待提高 这对于数值计算是至关重要 这直接影响到了程序 的效率以及程序的运行时间以及计算精度 在以后的学习中 更应该加强这方面的 锻炼 三 指导教师评语及成绩 三 指导教师评语及成绩 评语评语 评语等级评语等级 优优良良中中 及 格 及 格 不及格不及格 1 实验报告按时完成 字迹清楚 文字叙述流畅 逻辑性强1 实验报告按时完成 字迹清楚 文字叙述流畅 逻辑性强 2 实验方案设计合理2 实验方案设计合理 3 实验过程 实验步骤详细 记录完整 数据合理 分析透彻 3 实验过程 实验步骤详细 记录完整 数据合理 分析透彻 4 实验结论正确 4 实验结论正确 成绩 指导教师签名 批阅日期 成绩 指导教师签名 批阅日期 附录 源 程 序附录 源 程 序 第 14 页 共 17 页 函数文件 文件名 hql xiangqianchafen m function p u e x t hql xiangqianchafen h1 h2 m n 解抛物线型一维方程 向前欧拉格式 Ut aUxx f x t a 0 不用解线性方程组 由下一层 时间层 的值就直接得到上一层的值 m n 为 x t 方向的网格数 例如 2 0 0 01 200 e 为误差 p 为精确解 u zeros n 1 m 1 x 0 0 m h1 t 0 0 n h2 for i 1 n 1 u i 1 0 u i m 1 0 end for i 1 m 1 u 1 i cos pi x i end for i 1 n 1 for j 1 m 1 f i j 0 end end r h2 h1 h1 此处 r a h2 h1 h1 a 1要求 r 1 2 差分格式才稳 定 for i 1 n for j 2 m u i 1 j 1 2 r u i j r u i j 1 u i j 1 h2 f i j end end for i 1 n 1 for j 1 m 1 p i j exp pi pi t i cos pi x j 1 cos t i e i j abs u i j p i j end end hql paowufangcheng m 文件 clc clear p u e x t pwxywxq 0 1 0 005 10 200 figure 第 15 页 共 17 页 shading interp surf x t u xlabel x ylabel t zlabel u title 一维抛物线方程 向前欧拉法 数值解 figure surf x t p xlabel x ylabel t zlabel p title 精确解曲面 figure surf x t e xlabel x ylabel t zlabel e title 误差曲面 figure plot x u xlabel x ylabel u title 固定时间改变 xu 与 x的关系数值解 figure plot x p xlabel x ylabel p title 固定时间改变 xu 与 x的关系 精确解 figure plot x e xlabel x ylabel u title 固定时间改变 xu 与 x的关系 误差图形 figure plot t u xlabel t ylabel u title 固定 x改变 tu 与 t的关系数值解图形 figure plot t p 第 16 页 共 17 页 xlabel t ylabel p title 固定 x改变 tu 与 t的关系 精确解图形 figure plot t e xlabel t ylabel e title 固定 x改变 tu 与 t的关系 误差图形 差曲面

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