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超图上的随机游走_随机游走发现关键边
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超图上的随机游走
一、超图
1、普通图的局限性
在普通的图中，一条边只能连接两个点。在超图中，一个超边内可以存在多个点。实际上，普通图其实是超图的一种特殊存在形式，即超图中任意一条边内只存在两个点的特殊情况。
在普通图中，一条边只能储存两个点之间的关系，具有较大的局限性，无法将储存的信息将第三者相关联起来。例如，小张、小明和小王喜欢离散数学，小红和小明喜欢高等代数，若把同学作为点，课程作为边，只通过普通的图是无法将同学对课程的喜好关系准确地表达出来，强行表示必然会有信息的损失。在这种情况下，我们引入超图，把喜好课程作为超边，同学作为点，将同学与喜好课程之间的关系完整的表示出来。
2、超图的基本性质
下面我们来介绍超图的一些基本性质的定义。HG(V,E)为点集为V的，边集为E的超图。
当v∈e时，称超边e与v相交。超图的关联矩阵H∈R（|V|x|E|）定义如下：
h
(
v
,
e
)
=
{
1
i
f
v
∈
e
0
i
f
v
∉
e
h(v,e) = \left\{
点的度d(v)定义如下：
d
(
v
)
=
∑
e
∈
E
w
(
e
)
h
(
v
,
e
)
d(v) =\sum_{e\in E}w(e)h(v, e)\\
d(v)=e∈E∑w(e)h(v,e)
超边的的度δ(e)定义如下：
δ
(
e
)
=
∑
v
∈
V
h
(
v
,
e
)
=
∣
e
∣
δ(e)=\sum_{v\in V}h(v, e)=|e|
δ(e)=v∈V∑h(v,e)=∣e∣
二、随机游走
1、随机游走概念
随机游走算法的基本思想是，从一个或一系列顶点开始遍历一张图。在任意一个顶点，遍历者将以概率1-a游走到这个顶点的邻居顶点，以概率a随机跳跃到图中的任何一个顶点，称a为跳转发生概率，每次游走后得出一个概率分布，该概率分布刻画了图中每一个顶点被访问到的概率。用这个概率分布作为下一次游走的输入并反复迭代这一过程。当满足一定前提条件时，这个概率分布会趋于收敛。收敛后，即可以得到一个平稳的概率分布。随机游走模型广泛应用于数据挖掘和互联网领域，PageRank算法可以看作是随机游走模型的一个实例。这里通过介绍PageRank算法实例来让大家了解普通图上的随机游走。
其实随机游走的过程就是求转移矩阵P的过程。因此这里主要介绍转移矩阵P的求法。
（1)未加权简单图随机游走:
从u到v的转移概率为:
P
(
u
,
v
)
=
1
d
(
u
)
P(u,v)=\frac{1}{d(u)}
P(u,v)=d(u)1
矩阵表示：
P
=
D
G
−
1
H
P=D^{-1}_GH
P=DG−1H
（2）加权简单图的随机游走：
从u到v的转移概率为:
P
(
u
,
v
)
=
w
(
u
,
v
)
d
(
u
)
P(u,v)=\frac{w(u,v)}{d(u)}
P(u,v)=d(u)w(u,v)
这里的
d
(
u
)
d(u)
d(u)的定义改变了：
d
(
u
)
=
∑
w
(
u
,
x
)
d(u)=\sum_w(u, x)
d(u)=w∑(u,x)
2、详解随机游走——以PageRank为例
互联网用户在上网时，往往有类似的网络行为：输入网址，浏览页面，然后顺着页面的链接不断打开新的网页。随机游走模型就是针对浏览网页的用户行为建立的抽象概念模型。之所以要建立这个抽象概念模型，是因为包括PageRank 算法在内的很多链接分析算法都是建立在随机游走模型基础上的。
PageRank算法最早用于对网页进行“重要性”排序，它的算法逻辑可以使用随机游走模型来解释。在随机游走模型中，假设存在一个网络冲浪者，在每个时刻，该冲浪者停留在一个网页上，并且必须从以下行动中选取一个行动：一、从该网页的所有超链接中随机地选择一个链接，跳转到下一个页面。二、在浏览器的地址栏中输入一个新的网址，跳转到下一个页面。如果一直让该冲浪者重复这样的选择（即每次选择一个行动，跳转到下一个页面；然后又选择一个行动，再跳转到下一个页面），并记录该冲浪者对每个网页的访问次数。当这样的重复次数足够大时，每个网页被访问的频率逐渐趋于稳定。这时，用频率代替概率，便得到所有网页被冲浪者访问的概率，这些概率就是网页的PageRank值。
用公式表示就是：
P
R
(
i
)
=
1
−
d
N
+
d
∑
j
∈
i
n
(
i
)
P
R
(
j
)
∣
o
u
t
(
j
)
∣
PR(i) = \frac{1-d}{N} + d\sum_{j\in in(i)}\frac{PR(j)}{|out(j)|}
PR(i)=N1−d+dj∈in(i)∑∣out(j)∣PR(j)
| 变量 | 表示含义 |
|---|---|
| P R ( i ) PR(i) PR(i) | 网页i被访问到的概率 |
| i n ( i ) in(i) in(i) | 所有指向网页i的网页集合 |
| d d d | 用户继续访问网页的概率 |
| o u t ( j ) out(j) out(j) | 网页j指向的其他网页集合 |
| N N N | 所有网页的数量 |
由此，我们便很容易理解
以网页
i
i
i作为起点，第一个被用户点击后停留在当前页面的概率：
1
−
d
N
\frac{1-d}{N}
N1−d
用户点击其他网页后(无论网页
i
i
i是不是起点)，再次跳转回到网页
i
i
i的概率：
d
∑
j
∈
i
n
(
i
)
P
R
(
j
)
∣
o
u
t
(
j
)
∣
d\sum_{j\in in(i)}\frac{PR(j)}{|out(j)|}
dj∈in(i)∑∣out(j)∣PR(j)
实际上，推导网页概率P的过程，就是得到转移矩阵T的过程，至此，我们还需要每个页面初始概率值。在一般情况下我们假定，用户初始时所处的网页是随机的，即每个网页的初始概率值为（1/N）。
注意这里转移矩阵T有以下几个特征:
(1)T为随机矩阵 即所有 T [ i ] [ j ] ≥ 0 T[i][j] \geq 0 T[i][j]≥0，且的所有列向量的元素加和为1，即 ∑ i = 1 n T [ i ] [ j ] = 1 \sum_{i=1}^{n} T[i][j]=1 ∑i=1nT[i][j]=1
(2)T是不可约的 所谓不可约是说T所对应的图示强连通的，即图中任何一个节点都可以达到其他任何一个节点，它要求概率转移矩阵不存在某些特殊情况，比如某个列向量都为0，即有一个网页没有链接到任何其他网页，我们把这类情况又称为终止点；或者是在概率转移矩阵的主对角线上，存在有一个元素为1的情况，即这个网页链接只链接它自己，我们把这类情况又称为陷阱。
(3)T是非周期的 所谓周期性，体现在Markov链的周期性上。即若A是周期性的，那么这个Markov链的状态就是周期性变化的。
由此我们可以进行随机游走，得到网站的重要性排序：
V
n
=
T
⋅
V
n
−
1
=
T
n
⋅
V
0
V_{n}=T \cdot V_{n-1}=T^{n} \cdot V_{0}
Vn=T⋅Vn−1=Tn⋅V0
但是，上述的随机游走过程并不能保证转移矩阵T是不可约的，因此，我们使用重启的随机游走算法来保证随机游走过程是不可约的。从而得到下面的重启随机游走。
V
n
=
α
T
V
n
−
1
+
(
1
−
α
)
V
0
V_{n}=\alpha T V_{n-1}+(1-\alpha) V_{0}
Vn=αTVn−1+(1−α)V0
三、超图上的随机游走
超图上的随机游走大致可分为两步，第一步是冲浪者从点u选择一条超边e，第二步则是在超边e中选择要游走到的点v。
根据超图中点和超边是否加权，可以将超图中的随机游走分为四大类。而每类随机游走的主要不同之处在于P矩阵的差异，因此在这里，我们着重来看P矩阵的构建过程。
1、点、超边都没有权重的超图
冲浪者从当前点u出发，等概率随机选择一条包含点u的超边e，再在超边e内等概率随机选择下一个点v。
由此，我们可以定义P转移概率为：
P
(
u
,
v
)
=
1
d
(
u
)
∑
e
∈
E
(
u
)
∩
E
(
v
)
1
δ
(
e
)
P(u, v)=\frac{1}{d(u)} \sum_{e \in \mathcal{E}(u) \cap \mathcal{E}(v)} \frac{1}{\delta(e)}
P(u,v)=d(u)1e∈E(u)∩E(v)∑δ(e)1
其矩阵表示为：
P
=
D
v
−
1
H
D
e
−
1
H
T
P=D_{v}^{-1} H D_{e}^{-1} H^{T}
P=Dv−1HDe−1HT
| 变量名 | 含义 |
|---|---|
| P ( u , v ) P(u, v) P(u,v) | 从点u到点v的转移概率 |
| d ( u ) d(u) d(u) | 点u的度 |
| δ ( e ) \delta(e) δ(e) | 超边e的度 |
| E ( v ) \mathcal{E}(v) E(v) | 包含点v的所有超边集合 |
| E ( u ) \mathcal{E}(u) E(u) | 包含点u的所有超边集合 |
| P P P | 转移矩阵 |
| D v D_{v} Dv | 点的度的对角矩阵 |
| H H H | 邻接矩阵 |
| D e D_{e} De | 边的度的对角矩阵 |
注意到这里转移矩阵P的每行和为1。
2、点没有加权、超边加权的超图
第二种情况和第一种情况的不同之处在于第一步从点u选择超边e的过程中，这里每条超边被选择的概率是与其权重成正比的。第二步从超边e出发选择点v则相同。
由此，我们可以定义P转移概率为：
P
(
u
,
v
)
=
∑
e
∈
E
w
(
e
)
h
(
u
,
e
)
∑
e
^
∈
E
(
u
)
W
(
e
^
)
h
(
v
,
e
)
δ
(
e
)
（
1
）
P(u,v)=\sum_{e\in E}w(e)\frac{h(u,e)}{\sum_{\hat{e}\in E(u)}W(\hat{e})}\frac{h(v,e)}{δ(e)}\\ \quad （1）
P(u,v)=e∈E∑w(e)∑e^∈E(u)W(e^)h(u,e)δ(e)h(v,e)（1）
其矩阵表示为：
P
=
D
v
−
1
H
W
e
D
e
−
1
H
T
（
2
）
P=D_v^{-1}HW_eD^{-1}_eH^T （2）
P=Dv−1HWeDe−1HT（2）
W
e
W_{e}
We为对角矩阵，其对角线上的元素是每条超边的权重。
D
v
D_{v}
Dv的求法与第一种情况略有不同，其对角线上的元素是与点u相关联超边集
e
^
∈
E
(
u
)
\hat{e}\in E(u)
e^∈E(u)的权重相加。
在这里其实我们可以把这两个公式的每一项一一对应起来。
（1）中的 w ( e ) w(e) w(e)在（2）里面对应的是 W e W_{e} We。 h ( u , e ) 和 h(u,e)和 h(u,e)和 h ( v , e ) h(v,e) h(v,e)在（2）中以邻接矩阵H和他的转置的形式表现出来，这两个矩阵保证了第一步选择的超边e包含点u，也保证了第二步选择的点v包含于超边e中。 δ ( e ) {δ(e)} δ(e)也就是超边的度，在（2）中与 D v D_{v} Dv相对应。由于在分母上，因此在这里我们对 D v D_{v} Dv求逆。 ∑ e ^ ∈ E ( u ) W ( e ^ ) \sum_{\hat{e}\in E(u)}W(\hat{e}) ∑e^∈E(u)W(e^)这一项的实现，我们通过重新定义点u的度实现。
3、点加权，超边没有加权的超图
这里与情况点不加权，边加权的超图有异曲同工之妙。第一步从点u选超边e与都没有加权的超图一样，第二步从超边选择点v的概率与每个点的权重成正比。
由此，我们可以定义P转移概率为：
P
(
u
，
v
)
=
1
d
(
u
)
∑
e
∈
E
(
u
)
∩
E
(
v
)
w
(
v
,
e
)
∑
v
^
∈
e
w
(
v
^
,
e
)
P(u，v)=\frac{1}{d(u)}\sum_{e\in E(u)\cap E(v)}\frac{w(v,e)}{\sum_{\hat{v}\in e}w(\hat{v},e)}\\
P(u，v)=d(u)1e∈E(u)∩E(v)∑∑v^∈ew(v^,e)w(v,e)
其矩阵表示即转移矩阵P为：
P
=
D
v
−
1
H
W
e
D
v
e
−
1
H
T
P=D_v^{-1}HW_eD^{-1}_{ve}H^T
P=Dv−1HWeDve−1HT
这里，由于我们给点加权，因此超边的度被重新定义，即超边度的对角矩阵
D
v
e
D_{ve}
Dve要做出相应的变化。
显然，这两个公式每一项是可以在实际意义上一一对应的，但由于在第二种情况中描述详细，在这里不加以赘述。
4、点加权、超边也加权的超图
我们可以把第四种情况看成前两种情况的的结合。第一步选择超边时每条超边被选择的概率与其权重成正比，第二步选择点时每个点被选择的概率与其权重成正比。
由此，我们可以定义P转移概率为：
P
(
u
,
v
)
=
∑
e
∈
E
w
(
e
)
h
(
u
,
e
)
∑
e
^
∈
E
(
u
)
W
(
e
^
)
w
(
v
,
e
)
∑
v
^
∈
e
w
(
v
^
,
e
)
P(u,v)=\sum_{e\in E}w(e)\frac{h(u,e)}{\sum_{\hat{e}\in E(u)}W(\hat{e})}\frac{w(v,e)}{\sum_{\hat{v}\in e}w(\hat{v},e)}\\ \quad
P(u,v)=e∈E∑w(e)∑e^∈E(u)W(e^)h(u,e)∑v^∈ew(v^,e)w(v,e)
其矩阵表示即转移矩阵P为：
P
=
D
v
−
1
H
W
e
D
v
e
−
1
H
T
P=D_v^{-1}HW_eD^{-1}_{ve}H^T
P=Dv−1HWeDve−1HT
5、超图随机游走
不同种超图的随机游走主要不同之处在于转移矩阵P的构建，超图和普通图随机游走的不同之处也在于P矩阵的构建，在这里我们将转移矩阵代入公式中的到每个点的重要性排序。
非重启随机游走： V n = P ⋅ V n − 1 = P n ⋅ V 0 V_{n}=P \cdot V_{n-1}=P^{n} \cdot V_{0} Vn=P⋅Vn−1=Pn⋅V0
重启随机游走： V n = α P V n − 1 + ( 1 − α ) V 0 V_{n}=\alpha P V_{n-1}+(1-\alpha) V_{0} Vn=αPVn−1+(1−α)V0
