木道寻08

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机器人运动学_机器人运动学,

作者：木道寻08 | 2024-08-20 17:22:00

踩

机器人运动学,

1、机械臂的运动学模型

机械臂运动学研究的是机械臂运动，而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂的位置，速度和加速度。机械臂的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容，特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。

典型的机械臂由一些串行连接的关节和连杆组成。每个关节具有一个自由度，平移或旋转。对于具有n个关节的机械臂，关节的编号从1到n，有n +1个连杆，编号从0到n。连杆0是机械臂的基础，一般是固定的，连杆n上带有末端执行器。关节i连接连杆i和连杆i-1。

一个连杆可以被视为一个刚体，确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。一个连杆可以用两个参数描述，连杆长度和连杆扭转，这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空间的相对位置。而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义，一般选择为0。一个关节用两个参数描述，一是连杆的偏移，是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距离。二是关节角度，指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。

为了便于描述的每一个关节的位置，我们在每一个关节设置一个坐标系，对于一个关节链，Denavit和Hartenberg提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。对于转动关节i，规定它的转动平行于坐标轴zi-1，坐标轴xi-1对准从zi-1到zi的法线方向，如果zi-1与zi相交，则xi-1取zi−1 ×zi的方向。连杆，关节参数概括如下：

连杆长度ai 沿着xi轴从zi-1和zi轴之间的距离;
连杆扭转αi 从zi-1轴到zi轴相对xi-1轴夹角;
连杆偏移di 从坐标系i-1的原点沿着zi-1轴到xi轴的距离;
关节角度θi xi-1轴和xi轴之间关于zi-1轴的夹角。

对于一个转动关节θi是关节变量，di是常数。而移动关节di是可变的，θi是恒定的。为了统一，表示为

运用Denavit-Hartenberg（DH）方法，可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为一个4x4的齐次变换矩阵

上式表示出了坐标系i相对于坐标系i-1的关系。即

其中表示坐标系i相对于世界坐标系0的位置与姿态，简称位姿。

（1）创建单关节连杆

输入

>> L = Link([0 10 5 pi/6])

输出

L =

theta=q, d=10, a=5, alpha=0.5236, offset=0 (R,stdDH)

也可以表达为

>> L = Link([0 10 5 pi/6 0])

>> L = Link([0 10 5 pi/6],'revolute')

输入

>> L = Link([0 10 5 pi/6 1])

输出

L =

theta=0, d=q, a=5, alpha=0.5236, offset=0 (P,stdDH)

也可以表达为

>> L = Link([0 10 5 pi/6],'prismatic')

（2）创建多关节连杆

我们以UR5机械臂为例，建立机械臂的运动学模型，UR5机械臂一共有6个转动关节，因此可以被看做6R机械臂，其D-H参数如下

输入

>> L(1) = Link([0 0.089549 0 pi/2]);

L(2) = Link([0 0 0.425 0]);

L(3) = Link([0 0 0.39225 0]);

L(4) = Link([0 0.10915 0 pi/2]);

L(5) = Link([0 0.09465 0 -pi/2]);

L(6) = Link([0 0.0823 0 0]);

输出

L =

theta=q1, d=0.08955, a=0, alpha=1.571, offset=0 (R,stdDH)

theta=q2, d=0, a=0.425, alpha=0, offset=0 (R,stdDH)

theta=q3, d=0, a= 0.3922, alpha=0, offset=0 (R,stdDH)

theta=q4, d=0.1092, a=0, alpha=1.571, offset=0 (R,stdDH)

theta=q5, d=0.09465, a=0, alpha= -1.571, offset=0 (R,stdDH)

theta=q6, d=0.0823, a=0, alpha=0, offset=0 (R,stdDH)

使用SerialLink可以把连杆联系起来形成机械臂

输入

>> UR5_link=SerialLink(L,'name','sixlink')

输出

其中的stdDH表示UR5机械臂是在标准D-H参数下建立的模型，grav为重力加速度，通常会默认为在z轴上，为9.8N/kg。

2、正运动学

对于一个n-轴刚性连接的机械臂，正向运动学的解给出的是最后一个连杆坐标系的位置和姿态。重复利用上式,得到

机械臂末端位姿在笛卡尔坐标系中有6个自由度，3个平移，3个旋转。所以，一般来说具有6个自由度的机械臂可以使末端实现任意的位姿。

总的机械臂变换一般简写为Tn，对6个自由度的机械臂简写为T6。对于任意的机械臂，无论其它有多少个关节，具有什么结构，正向运动学解都是可以得到的。

三个两两相互垂直的XYZ轴构成欧几里得空间，存在六个自由度：沿XYZ平移的三个自由度，绕XYZ旋转的三个自由度。在欧几里得空间中任意线性变换都可以通过这六个自由度完成。

Denavit-Hartenberg提出的D-H参数模型能满足机器人学中的最小线性表示约定，用4个参数就能描述坐标变换：绕X轴平移距离a；绕X轴旋转角度alpha；绕Z轴平移距离d；绕Z轴旋转角度theta。

（1）标准D-H（Standard D-H）参数描述

以KUKA puma560机械臂为例

其标准D-H参数表如下

在MATLAB命令行窗口输入

clear;

clc;

%建立puma 560机器人模型

% theta d a alpha offset

%Standard D-H

SL(1)=Link([0 0 0 pi/2 0 ],'standard');

SL(2)=Link([0 0 0.4318 0 0 ],'standard');

SL(3)=Link([0 0.15 0.0203 -pi/2 0 ],'standard');

SL(4)=Link([0 0.4308 0 pi/2 0 ],'standard');

SL(5)=Link([0 0 0 -pi/2 0 ],'standard');

SL(6)=Link([0 0 0 0 0 ],'standard');

L1=SerialLink(SL,'name','puma560-std');

figure(1),teach(L1)

输出

下面我们使用机器人工具箱和根据运动学公式两种方法，基于标准D-H参数的方法求解运动学正解

1）主函数

clear;

clc;

%建立puma 560机器人模型

% theta d a alpha offset

%Standard D-H

SL(1)=Link([0 0 0 pi/2 0 ],'standard');

SL(2)=Link([0 0 0.4318 0 0 ],'standard');

SL(3)=Link([0 0.15 0.0203 -pi/2 0 ],'standard');

SL(4)=Link([0 0.4308 0 pi/2 0 ],'standard');

SL(5)=Link([0 0 0 -pi/2 0 ],'standard');

SL(6)=Link([0 0 0 0 0 ],'standard');

L1=SerialLink(SL,'name','puma560-std');

Sta_T06=L1.fkine([0,0,pi/2,0,0,pi/2]) %工具箱正解函数

Edite_Sta_T06=function_stafkine(0,0,pi/2,0,0,pi/2) %编写正解函数

2)根据标准D-H参数下，运动学公式建立的功能主函数（function）

function [T06]= function_stafkine (theta1,theta2,theta3,theta4,theta5,theta6)

SDH=[theta1 0 0 pi/2;

theta2 0 0.4318 0;

theta3 0.15 0.0203 -pi/2;

theta4 0.4308 0 pi/2;

theta5 0 0 -pi/2;

theta6 0 0 0];

T01=

[cos(SDH(1,1)) -sin(SDH(1,1))*cos(SDH(1,4)) sin(SDH(1,1))*sin(SDH(1,4)) SDH(1,3)*cos(SDH(1,1));

sin(SDH(1,1)) cos(SDH(1,1))*cos(SDH(1,4)) -cos(SDH(1,1))*sin(SDH(1,4)) SDH(1,3)*sin(SDH(1,1));

0 sin(SDH(1,4)) cos(SDH(1,4)) SDH(1,2);

0 0 0 1];

T12=[cos(SDH(2,1)) -sin(SDH(2,1))*cos(SDH(2,4)) sin(SDH(2,1))*sin(SDH(2,4)) SDH(2,3)*cos(SDH(2,1));

sin(SDH(2,1)) cos(SDH(2,1))*cos(SDH(2,4)) -cos(SDH(2,1))*sin(SDH(2,4)) SDH(2,3)*sin(SDH(2,1));

0 sin(SDH(2,4)) cos(SDH(2,4)) SDH(2,2);

0 0 0 1];

T23=[cos(SDH(3,1)) -sin(SDH(3,1))*cos(SDH(3,4)) sin(SDH(3,1))*sin(SDH(3,4)) SDH(3,3)*cos(SDH(3,1));

sin(SDH(3,1)) cos(SDH(3,1))*cos(SDH(3,4)) -cos(SDH(3,1))*sin(SDH(3,4)) SDH(3,3)*sin(SDH(3,1));

0 sin(SDH(3,4)) cos(SDH(3,4)) SDH(3,2);

0 0 0 1];

T34=[cos(SDH(4,1)) -sin(SDH(4,1))*cos(SDH(4,4)) sin(SDH(4,1))*sin(SDH(4,4)) SDH(4,3)*cos(SDH(4,1));

sin(SDH(4,1)) cos(SDH(4,1))*cos(SDH(4,4)) -cos(SDH(4,1))*sin(SDH(4,4)) SDH(4,3)*sin(SDH(4,1));

0 sin(SDH(4,4)) cos(SDH(4,4)) SDH(4,2);

0 0 0 1];

T45=[cos(SDH(5,1)) -sin(SDH(5,1))*cos(SDH(5,4)) sin(SDH(5,1))*sin(SDH(5,4)) SDH(5,3)*cos(SDH(5,1));

sin(SDH(5,1)) cos(SDH(5,1))*cos(SDH(5,4)) -cos(SDH(5,1))*sin(SDH(5,4)) SDH(5,3)*sin(SDH(5,1));

0 sin(SDH(5,4)) cos(SDH(5,4)) SDH(5,2);

0 0 0 1];

T56=[cos(SDH(6,1)) -sin(SDH(6,1))*cos(SDH(6,4)) sin(SDH(6,1))*sin(SDH(6,4)) SDH(6,3)*cos(SDH(6,1));

sin(SDH(6,1)) cos(SDH(6,1))*cos(SDH(6,4)) -cos(SDH(6,1))*sin(SDH(6,4)) SDH(6,3)*sin(SDH(6,1)); 0 sin(SDH(6,4)) cos(SDH(6,4)) SDH(6,2);

0 0 0 1];

T06=T01*T12*T23*T34*T45*T56;

输出结果为

Sta_T06 =

-0.0000 -0.0000 -1.0000 0.0010

1.0000 0 -0.0000 -0.1500

0 -1.0000 0.0000 0.0203

0 0 0 1.0000

Edite_Sta_T06 =

-0.0000 -0.0000 -1.0000 0.0010

1.0000 0 -0.0000 -0.1500

0 -1.0000 0.0000 0.0203

0 0 0 1.0000

（2）改进D-H（Modified D-H）参数描述

Puma560机器人其改进D-H参数表如下

在MATLAB命令行窗口输入

clear;

clc;

%建立puma 560机器人模型

% theta d a alpha offset

%Modified D-H

ML(1)=Link([0 0 0 0 0 ],'modified');

ML(2)=Link([0 0.2435 0 -pi/2 0 ],'modified');

ML(3)=Link([0 -0.0934 0.4318 0 0 ],'modified');

ML(4)=Link([0 0.4331 -0.0203 pi/2 0 ],'modified');

ML(5)=Link([0 0 0 -pi/2 0 ],'modified');

ML(6)=Link([0 0 0 pi/2 0 ],'modified');

L2=SerialLink(ML,'name','puma560-mod');

figure(2),teach(L2)

输出

可以看出末端位置，不完全一致，因为改进DH并没有建到工具坐标系，再乘一个纯平移的变换即可。

将平移变化添加到改进D-H模型中，即输入

clear;

clc;

%建立puma 560机器人模型

% theta d a alpha offset

%Modified D-H

ML(1)=Link([0 0 0 0 0 ],'modified');

ML(2)=Link([0 0.2435 0 -pi/2 0 ],'modified');

ML(3)=Link([0 -0.0934 0.4318 0 0 ],'modified');

ML(4)=Link([0 0.4331 -0.0203 pi/2 0 ],'modified');

ML(5)=Link([0 0 0 -pi/2 0 ],'modified');

ML(6)=Link([0 -0.02 0.0406 pi/2 0 ],'modified');

L2=SerialLink(ML,'name','puma560-mod');

figure(2),teach(L2)

输出

下面我们使用机器人工具箱和根据运动学公式两种方法，基于改进D-H参数的方法求解运动学正解

1）主函数

clear;

clc;

%建立puma 560机器人模型

% theta d a alpha offset

%Modified D-H

ML(1)=Link([0 0 0 0 0 ],'modified');

ML(2)=Link([0 0.2435 0 -pi/2 0 ],'modified');

ML(3)=Link([0 -0.0934 0.4318 0 0 ],'modified');

ML(4)=Link([0 0.4331 -0.0203 pi/2 0 ],'modified');

ML(5)=Link([0 0 0 -pi/2 0 ],'modified');

ML(6)=Link([0 -0.02 0.0406 pi/2 0 ],'modified');

L2=SerialLink(ML,'name','puma560-mod');

Mod_T06=L2.fkine([0,0,pi/2,0,0,pi/2]) %工具箱正解函数

Edite_Mod_T06=function_modfkine(0,0,pi/2,0,0,pi/2) %编写正解函数

2)根据改进D-H参数下，运动学公式建立的功能主函数（function）

function [T06]=function_modfkine(theta1,theta2,theta3,theta4,theta5,theta6)

MDH=[theta1 0 0 0;

theta2 0 0.180 -pi/2;

theta3 0 0.600 0;

theta4 0.630 0.130 -pi/2;

theta5 0 0 pi/2;

theta6 0 0 -pi/2];

T01=[cos(MDH(1,1)) -sin(MDH(1,1)) 0 MDH(1,3);

cos(MDH(1,4))*sin(MDH(1,1)) cos(MDH(1,4))*cos(MDH(1,1)) -sin(MDH(1,4)) -MDH(1,2)*sin(MDH(1,4));

sin(MDH(1,4))*sin(MDH(1,1)) sin(MDH(1,4))*cos(MDH(1,1)) cos(MDH(1,4)) MDH(1,2)*cos(MDH(1,4));

0 0 0 1];

T12=[cos(MDH(2,1)) -sin(MDH(2,1)) 0 MDH(2,3);

cos(MDH(2,4))*sin(MDH(2,1)) cos(MDH(2,4))*cos(MDH(2,1)) -sin(MDH(2,4)) -MDH(2,2)*sin(MDH(2,4));

sin(MDH(2,4))*sin(MDH(2,1)) sin(MDH(2,4))*cos(MDH(2,1)) cos(MDH(2,4)) MDH(2,2)*cos(MDH(2,4));

0 0 0 1];

T23=[cos(MDH(3,1)) -sin(MDH(3,1)) 0 MDH(3,3);

cos(MDH(3,4))*sin(MDH(3,1)) cos(MDH(3,4))*cos(MDH(3,1)) -sin(MDH(3,4)) -MDH(3,2)*sin(MDH(3,4));

sin(MDH(3,4))*sin(MDH(3,1)) sin(MDH(3,4))*cos(MDH(3,1)) cos(MDH(3,4)) MDH(3,2)*cos(MDH(3,4));

0 0 0 1];

T34=[cos(MDH(4,1)) -sin(MDH(4,1)) 0 MDH(4,3);

cos(MDH(4,4))*sin(MDH(4,1)) cos(MDH(4,4))*cos(MDH(4,1)) -sin(MDH(4,4)) -MDH(4,2)*sin(MDH(4,4));

sin(MDH(4,4))*sin(MDH(4,1)) sin(MDH(4,4))*cos(MDH(4,1)) cos(MDH(4,4)) MDH(4,2)*cos(MDH(4,4));

0 0 0 1];

T45=[cos(MDH(5,1)) -sin(MDH(5,1)) 0 MDH(5,3);

cos(MDH(5,4))*sin(MDH(5,1)) cos(MDH(5,4))*cos(MDH(5,1)) -sin(MDH(5,4)) -MDH(5,2)*sin(MDH(5,4));

sin(MDH(5,4))*sin(MDH(5,1)) sin(MDH(5,4))*cos(MDH(5,1)) cos(MDH(5,4)) MDH(5,2)*cos(MDH(5,4));

0 0 0 1];

T56=[cos(MDH(6,1)) -sin(MDH(6,1)) 0 MDH(6,3);

cos(MDH(6,4))*sin(MDH(6,1)) cos(MDH(6,4))*cos(MDH(6,1)) -sin(MDH(6,4)) -MDH(6,2)*sin(MDH(6,4));

sin(MDH(6,4))*sin(MDH(6,1)) sin(MDH(6,4))*cos(MDH(6,1)) cos(MDH(6,4)) MDH(6,2)*cos(MDH(6,4));

0 0 0 1];

T06=T01*T12*T23*T34*T45*T56;

输出

Mod_T06 =

-0.0000 -0.0000 1.0000 0.8449

1.0000 0 0.0000 0.1501

0 1.0000 0.0000 -0.0203

0 0 0 1.0000

Edite_Mod_T06 =

-0.0000 -0.0000 1.0000 0.8649

1.0000 0 0.0000 0.1501

0 1.0000 0.0000 -0.0203

0 0 0 1.0000

3、逆运动学

在机械臂的路径规划中，用到的是逆运动学的解，它给出了特定的末端位姿对应的机械臂的关节角度。一般来说，逆运动学的解不是唯一的，对具有某种结构的机械臂，封闭解可能不存在。

对于6自由度的机器人而言，运动学逆解非常复杂，一般没有封闭解。只有在某些特殊情况下才可能得到封闭解。不过，大多数工业机器人都满足封闭解的两个充分条件之一（Pieper准则）

（1）三个相邻关节轴交于一点

（2）三个相邻关节轴相互平行

如果机械臂多于6个关节，称关节为冗余的，这时解是存在多解。如果对于机械臂某个特别的位姿，解不存在，称这个位姿为奇异位姿。机械臂的奇异性可能是由于机械臂中某些坐标轴的重合，或位置不能达到引起的。

机械臂的奇异位姿分为两类：

(1)边界奇异位姿，当机械臂的关节全部展开或折起时，使得末端处于操作空间的边界或边界附近，雅克比矩阵奇异，机械臂的运动受到物理结构的约束，这时机械臂的奇异位姿称为边界奇异位姿。

(2)内部奇异位姿，两个或两个以上的关节轴线重合时，机械臂各个关节的运动相互抵消，不产生操作运动，这时机械臂的奇异位姿称为内部奇异位姿。

机械臂运动学逆解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、在进行逆解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度快，效率高，便于实时控制。而数值解法不具有这些特点。机械臂运动学的封闭逆解可通过两种途径得到：代数法和几何法。

一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多，即运动学逆解的数目也越多。

在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多移动小关节，少移动大关节”的原则。n个自由度的机械臂的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量，记为q。所有的关节矢量构成的空间称为关节空间。机械臂末端的位姿用6个变量描述，3个平移(x,y,z)和3个旋转(wx, wy, wz)，记x=(x,y,z, wx, wy, wz)，x是机械臂末端在基坐标空间中的坐标，所有的矢量x构成的空间称为操作空间或作业定向空间。工作空间是操作臂的末端能够到达的空间范围，即末端能够到达的目标点集合。值得指出的是，工作空间应该严格地区分为两类：

(1) 灵活（工作）空间指机械臂末端能够以任意方位到达的目标点集合。因此，在灵活空间的每个点上，手爪的指向可任意规定。

(2) 可达（工作）空间指机械臂末端至少在一个方位上能够到达的目标点集合。

机械臂各关节驱动器的位置组成的矢量称为驱动矢量s，由这些矢量构成的空间称为驱动空间。

以puma560机器人为例，求解机器人运动学逆解

clear;

clc;

%建立puma 560机器人模型

% theta d a alpha offset

%Standard D-H

SL(1)=Link([0 0 0 pi/2 0 ],'standard');

SL(2)=Link([0 0 0.4318 0 0 ],'standard');

SL(3)=Link([0 0.15 0.0203 -pi/2 0 ],'standard');

SL(4)=Link([0 0.4308 0 pi/2 0 ],'standard');

SL(5)=Link([0 0 0 -pi/2 0 ],'standard');

SL(6)=Link([0 0 0 0 0 ],'standard');

L1=SerialLink(SL,'name','puma560-std');

P=L1.fkine([0,0,pi/2,0,0,pi/2]) %工具箱正解函数

Q=L1.ikine(P) %ikine逆解函数，根据我们给定的末端位姿P，求解出关节角Q

输出

P =

-0.0000 -0.0000 -1.0000 0.0010

1.0000 0 -0.0000 -0.1500

0 -1.0000 0.0000 0.0203

0 0 0 1.0000

Q =

0.0000 3.0432 1.6650 -0.4734 -2.7786 1.3967

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