2023国赛数学建模A题第一问解题思路 - 定日镜场的优化设计(详细过程，小白读完就会)_数学建模定日镜

补充知识点：

1.定日镜聚光系统：

定日镜是反射聚焦太阳辐射的单元，聚光子系统由成千上万面的定日镜组成，聚光子系统的投资成本约占了电站总投资成本的 50%[39]。由于太阳光线的发散性和太阳位置的变化，入射的太阳光线并不能完全被定日镜反射聚焦到吸热器上，系统存在的能量损失约为 30%~40%[39]。定日镜聚光系统是塔式光热电站中投资成本最大的系统，也是能量损失最大的系统，因此，选择合理的定日镜场布置设计，使得更多的太阳辐射被反射聚焦到吸热器表面，将有效提高定日镜聚光系统的效率，降低塔式光热电站的发电成本。

2.2太阳辐射

在塔式光热电站中，主要利用的是太阳法向直射辐射度 DNI（Direct Normal Irradiance），定日镜采用方位角-仰角的跟踪方式，对太阳位置进行跟踪，将太阳入射光线反射聚焦到吸热器上。作为电站的能量输入，太阳法向直射辐射度容易受到太阳光发散性、太阳位置变化以及天气因素的影响。在不考虑天气因素影响下，计算太阳光线的发散角度和太阳位置，计算出太阳法向直射辐射度。

2.2.1 太阳光的发散性 

太阳轮廓相对地球表面上某一点的张角，称为太阳张角。根据太阳半径和日地距离，可以计算出太阳张角

太阳张角表明从太阳直射到地球表面的光束并非一道平行光束，而是一道锥角为 32′的锥形光，根据光的反射定律，经过定日镜反射后，聚焦到吸热器表面的也是一道锥形光束，具有一定的发散性。  

 2.2.2 太阳位置

 太阳位置通常用太阳方位角和太阳高度角来表示，定日镜也相应地采用方位角-仰角的跟踪方式对太阳位置进行跟踪。在太阳位置计算中，先将当地标准时间转换为天文学中的太阳时，计算赤纬角、时角等计算太阳位置所必要的天文学参数，从而计算出太阳的方位角和高度角。

（1）太阳时 

以太阳运动为标准来计算的时间，称为太阳时，在太阳时的 12点时刻，太阳位于一天当中头顶的最高位置。在太阳时与当地标准时间转换中，考虑了两项修正。第一项是对地球绕日公转时转速变化所做的修正，第二项是对当地标准时计量点与电站当地的经度差异进行修正。则太阳时（AST）与当地标准时间（LST）之间的转换关系为[40, 41]： 

---

式中，LST为当地标准时间，分钟；ET为第一项修正值，分钟；SL为标准时计量点所在处的经度；LL为电站的当地经度，东经为正，西经为负。 第一项修正值 ET的计算公式为：

式中，n为日期序数，可由表 2-1计算得出，表中 i为某月的第几天。  

（2）赤纬角 

地心-日心的连线与地球赤道平面的夹角，称为赤纬角。它是一个周期变化的量，变化范围为-23.45°~23.45°

 赤纬角的近似计算公式如下[40, 41]：

 式中，n为日期序数

（3）太阳时角  

由于地球自转，太阳相对于当地子午线存在一定的角度偏移，称为太阳时角。太阳时角以每分钟 0.25°的速率变化，其计算公式为[

在太阳时 12时，太阳时角 ω为 0°，上午时 ω取负值，下午时 ω取正值。  

（4）日照时长 

每天的日落时间与日出时间之差，称为日照时长，取决于当地纬度和太阳赤纬角，其计算公式如下

 式中，Φ为当地纬度。

（5）太阳天顶角 

做一条连接太阳中心和地球表面某一点的射线，该射线与水平面法线之间的夹角，称为太阳天顶角，如图 2-3所示，计算公式如下：

（6）太阳高度角 

做一条连接太阳中心和地球表面某一点的射线，该射线与其在水平面上投影之间的夹角，称为太阳高度角。太阳高度角是太阳天顶角的余角，如图 2-3所示，计算公式为：

（7）太阳方位角 

做一条连接太阳中心和地球表面某一点的射线，该射线在水平面上的投影线与水平面正南方向的夹角，称为太阳方位角，如图 2-3所示，其计算公式如下

2.2.3太阳法向直射辐射度 DNI  

太阳法向直射辐射度 DNI是指垂直于太阳光线方向上的单位面积单位时间内所接收的辐射能量，其可以通过太阳辐射计测量，同时也可以通过数学模型进行计算。本研究中采用 Hottel模型来计算太阳法向直射辐射度 DNI，在 Hottel模型中，太阳法向直射辐射度 DNI与所在地海拔以及太阳高度角有关，计算公式为

其中， 

式中，E0为太阳常数，为太阳辐射进入地球大气后在单位面积内的总量，kW/m2; ALT为海拔高度，km；根据公式（2-12）~（2-14），编写 MA TLAB程序计算出塔式光热电站所在地一天当中，太阳法向直射辐射度 DNI随着时间的变化，作为电站能量的输入。以敦煌（94.71°E，40.13°N）为例，计算出其在春分日、夏至日、秋分日、冬至日四天当中的太阳法向直射辐射度 DNI的变化，见图 2-4所示

 

 如图 2-4所示，对于位于北半球的敦煌地区而言，在夏至日时，太阳处于近地点，日地距离较近，具有较强的太阳辐射，正午时分的太阳法向直射辐射度 DNI最大值为 840W·m-2，同时，日出时间较早，日落时间较晚，日照时长较长，该地区的塔式光热电站在夏季能够具有较好的能量输入和较长的有效利用小时数；在冬至日，太阳处于远地点，日地距离较远，太阳辐射较弱，正午时分的太阳法向直射辐射度 DNI最大值为 639W·m-2，日照时长较短；在春分日或者秋分日，太阳位置处于过渡阶段，太阳法向直射辐射度 DNI和日照时长处于夏至日和冬至日之间的水平，一天当中太阳法向直射辐射度 DNI的最大值约为 800 W·m-2。

2.3 聚光系统模型 

基于电站的设计参数和预估或经验系统效率，估算出整个定日镜场的定日镜数目，采用圆环交替布置法对这些定日镜进行合理布局，分析太阳光线反射聚焦过程中存在的各项损失，利用光线追迹法计算聚光系统的镜场效率，得到反射聚焦到吸热器表面的有效能量，构建聚光系统模型。 

2.3.1 定日镜场的布局

在不考虑遮挡损失的前提下，定日镜镜场中定日镜的数目越多，聚焦反射到吸热器表面的能量越多，但是随着定日镜数目的增加，镜场面积扩大，定日镜与吸热塔之间的距离增加，镜场光学效也随之降低，根据电站的额定功率、设计参数以及预估或经验系统效率可以估算出整个镜场的定日镜数目。

式中，N为定日镜的数目；Pe为电站的额定功率；SM为太阳倍数；Shelio为定日镜的镜面面积；ηhelio为定日镜镜场的预估或经验效率；ηr为电站其他系统的预估或经验效率合理地布置定日镜场，提高聚光系统光学效率是电站设计中优化性能和降低成本的关键。本研究中采用圆环交替布置[43]，如图 2-5所示，镜场中的定日镜布置在以吸热塔为圆心的若干同心圆环上，从圆心开始向外排布，第一排定日镜之间的间距需要确保定日镜之间不发生碰撞，保证定日镜之间相互不干扰运行，其余定日镜之间的间距按照式（2-16）和（2-17）计算。随着定日镜向外排布，定日镜排列越稀疏，减少了其他定日镜对反射光线的遮挡影响。 

 

式中，Hhelio为定日镜镜面的长度；Whelio为定日镜镜面的宽度；θL为定日镜与吸热器连线与其在水平面投影的夹角。

2.3.2 光学效率

在定日镜将太阳辐射反射聚焦到吸热器表面的过程当中，由于定日镜镜面与入射光线的角度关系、其他定日镜的影响和大气的影响等因素，聚焦到吸热器表面的太阳辐射能量会有所损失。根据这些影响因素，可以将镜场的光学效率进一步分为多项分效率，其表示为

式中，ηop为镜场的光学效率；ρ为定日镜的镜面反射率； ηcos 为余弦效率；ηS&B为阴影遮挡效率； ηair 为大气透射效率；ηint为截断效率。

1）镜面反射率 

镜面反射率用来描述定日镜反射太阳光线的能力，其与定日镜的制作材料、制作工艺和表面清洁度有关，当定日镜镜面处于清洁状态时，镜面反射率可达92%~94%[41]，本研究中设为常数 0.94

2）余弦效率 

在电站运行期间，定日镜并非总是与太阳入射光线相垂直，而是两者之间存在一定的角度，如图 2-6所示，此时定日镜接受太阳辐射的有效面积为定日镜镜面在垂直太阳入射光线方向上投影面的面积，小于定日镜的物理镜面面积，导致实际接收的辐射小于理论值，造成了余弦损失。将入射光线的入射向量和定日镜法向量的夹角的余弦值定义为余弦效率。 

3）阴影遮挡效率 

如图 2-7所示，由于成千上万面定日镜的布局非常密集，当太阳入射光线照射到定日镜 Mirror1时，部分太阳入射光线被定日镜 Mirror2遮挡，导致 Mirror1阴影部分面积无法接收到太阳的辐射能，造成了阴影损失;当 Mirror1反射光线被定日镜 Mirror3遮挡，无法照射到吸热器上，则造成了遮挡损失。定日镜成功反射的光线数目与入射光线总数目之比为阴影遮挡效率。 

4）大气透射效率

定日镜反射聚焦到吸热器表面的太阳光线，由于当地的海拔高度、大气条件等因素的影响，在大气传播过程中存在一定的衰减，导致能量损失，称为大气衰减损失。一般来说，在气象条件一定的情况下，大气衰减损失与定日镜到吸热器的距离成正相关。

在大气中传播后的太阳辐射能与反射初的太阳辐射能之比，定义为大气透射效率。当天气晴朗时，定日镜的大气透射效率可以计算为

式中，dHM是定日镜中心到吸热器中心的直线距离，通常该距离在 1000m内。 

 5）截断效率 

太阳光线是具有发散性的锥形光束，当吸热器的尺寸一定时，部分太阳光线未能照射到吸热器表面，如图 2-8所示，图中左边红色部分为成功反射到吸热器表面的光线，右边灰色部分表示部分反射光线超出了吸热器表面，导致了能量损失，称为溢出损失。将照射到吸热器表面的光线与总的反射光线数之比为截断效率。 

2.3.3 光线追迹法

在塔式太阳能系统的聚光系统仿真中，主要涉及到光学效率的计算，本研究采用光线追迹法，通过追踪太阳入射光线和反射光线的路径，判断其与吸热器的交点，来计算光学效率以及吸热器表面的能流密度分布。光线追迹法的具体计算步骤如下: 

（1）输入仿真对象塔式光热电站的地理位置（经纬度、海拔等）、时间、定
日镜参数、吸热器参数等，根据公式（2-2）~（2-11）编写太阳位置的 MA TLAB
计算程序计算出太阳位置，并根据公式（2-12）~（2-14）编写的太阳法向直射辐
射度 DNI计算程序计算出电站的能量输入

（2）根据公式（2-15）估算定日镜数目，生成定日镜镜场布局，以吸热塔底部为原点建立地面直角坐标系 Oxyz，如图 2-9所示；

（3）选取一面未处理的定日镜。 设定日镜中心位置坐标为 M(xM,yM,zM)，其聚焦点为吸热器的中心位置 Q（0,0,H），由太阳的高度角、方位角，根据坐标系的位置关系，计算出太阳入射光线的方向向量，为 

由反射点和聚焦点的坐标，可得反射光线的方向向量为 

根据反射定律，则定日镜的镜面法向向量为 

（4）根据公式（2-19）、（2-20）计算定日镜的余弦效率和大气透射效率。 

（5）计算阴影遮挡效率在定日镜镜面上随机取点 P，设点 P个数为 nP,其在镜面坐标系下的坐标为
（xP,Mirror,yP,Mirror,0），其在地面坐标系下的坐标为（xP,yP,zP）。两者之间的转换关系为 

在镜面坐标系下，P点满足 

通过镜面上 P点的主入射光线方程为

 第 i-1面定日镜的镜面法向向量为 nor(xi-1,yi-1,zi-1)，其镜面的中心点坐标为Mi-1(xMi-1,y Mi-1,z Mi-1),则定日镜的镜面方程为 

分别联立公式（2-26）和（2-28）、（2-27）和（2-28），判断入射光线、反射光线与定日镜镜面的交点，设入射光线与第 i-1面定日镜的有效交点个数为 nS，反射光线与第 i-1面定日镜的有效交点个数为 nB，则定日镜的阴影遮挡效率为： 

（6）计算截断效率。 

在地面直角坐标下，将吸热器表面作为圆柱面，吸热器表面方程为 

 式中，rec_d为吸热器的直径；rec_h为吸热器的高度。 
联立公式（2-27）和（2-30），解出反射光线与吸热器表面的交点，若反射光线与吸热器表面无交点或只有一个交点，则认为反射光线未能成功到达吸热器表面，交点无效；若反射光线与吸热器表面存在两个交点，取离定日镜上 P点较近的交点作为有效交点。设反射光线与吸热器表面的有效交点个数为 nint，则截断效率为

（7）根据公式（2-18）计算出该定日镜的光学效率。 
（8）遍历镜场所有定日镜，计算镜场效率，从而计算出定日镜场反射聚焦到吸热器表面的有效可利用能量，为： 

至此，定日镜聚光系统模型建立完毕，可求得定日镜场反射聚焦到吸热器表面的有效可利用能量，作为下一章吸热器集热系统内部传热介质吸热的能量来源。