赞
踩
二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找(比如数字和字母等),将数列排序后再进行查找
二分查找法的运行时间为对数时间O(㏒₂n) ,即查找到需要的目标位置最多只需要㏒₂n步,假设从[0,99]的队列(100个数,即n=100)中寻到目标数30,则需要查找步数为㏒₂100 , 即最多需要查找7次( 2^6 < 100 < 2^7)
public class BinarySearchNoRecur { public static void main(String[] args) { //测试 int[] arr = {1,3, 8, 10, 11, 67, 100}; int index = binarySearch(arr, 100); System.out.println("index=" + index);// } //二分查找的非递归实现 /** * * @param arr 待查找的数组, arr是升序排序 * @param target 需要查找的数 * @return 返回对应下标,-1表示没有找到 */ public static int binarySearch(int[] arr, int target) { int left = 0; int right = arr.length - 1; while(left <= right) { //说明继续查找 int mid = (left + right) / 2; if(arr[mid] == target) { return mid; } else if ( arr[mid] > target) { right = mid - 1;//需要向左边查找 } else { left = mid + 1; //需要向右边查找 } } return -1; } }
分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
分治算法可以求解的一些经典问题
二分搜索
大整数乘法
棋盘覆盖
合并排序
快速排序
线性时间选择
最接近点对问题
循环赛日程表
汉诺塔
分治算法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题
解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
分治算法的设计模式
分治算法解汉诺塔
public class Hanoitower { public static void main(String[] args) { hanoiTower(10, 'A', 'B', 'C'); } //汉诺塔的移动的方法 //使用分治算法 public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) { //如果只有一个盘 if(num == 1) { System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c); } else { //如果我们有 n >= 2 情况,我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘 //1. 先把 最上面的所有盘 A->B, 移动过程会使用到 c hanoiTower(num - 1, a, c, b); //2. 把最下边的盘 A->C System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c); //3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔 hanoiTower(num - 1, b, a, c); } } }
方法2
public static void f(int n,char A,char B,char C) {
if(n == 1) {
System.out.println("move:"+A+"->"+B);
return;
}
f(n-1,A,C,B);
f(1,A,B,C);
f(n-1,C,B,A);
}
当输入f(3,‘A’,‘B’,‘C’);
move:A->B
move:A->C
move:B->C
move:A->B
move:C->A
move:C->B
move:A->B
动态规划之01背包问题
用一个数组来保存曾经计算过的数据来避免重复计算。这种思想便是动态规划!
动态规划算法介绍
动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.
动态规划算法最佳实践-背包问题
思路分析和图解
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01背包,即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品,根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量,C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值(放入i个物品后,这i个物品容量的最大值)(在总重量不超过背包承载上限W的情况下,能够装入背包的最大价值是多少)。则我们有下面的结果:
(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时:v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略(因为不管怎样,新加的这个商品你是加不进去背包的,对前面的装包策略不会产生影响,本来就只能装5kg,你来一个10kg的,这叫人家怎么装?还不如就用之前准备好的装包策略)
(3) 当j>=w[i]时: v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,(说明显得商品可以尝试装进背包)
// 装入的方式:
v[i-1][j]: 就是上一个单元格的装入的最大值(就是之前的装包方案 )
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] : 装入i-1商品,到剩余空间j-w[i]的最大值(有没有发现,实际上就是找表格上一行的背包容量为j-w[i]时对应的值,有没有)
当j>=w[i]时: v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
package com.atguigu.dynamic; public class KnapsackProblem { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量 int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i] int m = 4; //背包的容量 int n = val.length; //物品的个数 //创建二维数组, //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值 int[][] v = new int[n+1][m+1]; //为了记录放入商品的情况,我们定一个二维数组 int[][] path = new int[n+1][m+1]; //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中,可以不去处理,因为默认就是0 for(int i = 0; i < v.length; i++) { v[i][0] = 0; //将第一列设置为0 } for(int i=0; i < v[0].length; i++) { v[0][i] = 0; //将第一行设置0 } //根据前面得到公式来动态规划处理 for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的 for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的 //公式 if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的,因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1] v[i][j]=v[i-1][j]; } else { //说明: //因为我们的i 从1开始的, 因此公式需要调整成 //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]); //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]); if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]; //把当前的情况记录到path path[i][j] = 1;//因为第一次放入物品的操作都是在这里 } else { v[i][j] = v[i - 1][j]; } } } } //输出一下v 看看目前的情况 for(int i =0; i < v.length;i++) { for(int j = 0; j < v[i].length;j++) { System.out.print(v[i][j] + " "); } System.out.println(); } System.out.println("============================"); //输出最后我们是放入的哪些商品 //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入 // for(int i = 0; i < path.length; i++) { // for(int j=0; j < path[i].length; j++) { // if(path[i][j] == 1) { // System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); // } // } // } //动脑筋 int i = path.length - 1; //行的最大下标 int j = path[0].length - 1; //列的最大下标 while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找 if(path[i][j] == 1) { System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); j -= w[i-1]; //w[i-1] } i--; } } }
应用场景–字符串匹配问题
字符串匹配问题::
有一个字符串 str1= ““硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好””,和一个子串 str2=“尚硅谷你尚硅你”
现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在,就返回第一次出现的位置, 如果没有,则返回-1
暴力匹配算法
如果用暴力匹配的思路,并假设现在str1匹配到 i 位置,子串str2匹配到 j 位置,则有:
如果当前字符匹配成功(即str1[i] == str2[j]),则i++,j++,继续匹配下一个字符
如果失配(即str1[i]! = str2[j]),令i = i - (j - 1),j = 0。相当于每次匹配失败时,i 回溯,j 被置为0。
用暴力方法解决的话就会有大量的回溯,每次只移动一位,若是不匹配,移动到下一位接着判断,浪费了大量的时间。(不可行!)
暴力匹配算法实现.
public class ViolenceMatch { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub //测试暴力匹配算法 String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好"; String str2 = "尚硅谷你尚硅你~"; int index = violenceMatch(str1, str2); System.out.println("index=" + index); } // 暴力匹配算法实现 public static int violenceMatch(String str1, String str2) { char[] s1 = str1.toCharArray(); char[] s2 = str2.toCharArray(); int s1Len = s1.length; int s2Len = s2.length; int i = 0; // i索引指向s1 int j = 0; // j索引指向s2 while (i < s1Len && j < s2Len) {// 保证匹配时,不越界 if(s1[i] == s2[j]) {//匹配ok i++; j++; } else { //没有匹配成功 //如果失配(即str1[i]! = str2[j]),令i = i - (j - 1),j = 0。 i = i - (j - 1); j = 0; } } //判断是否匹配成功 if(j == s2Len) { return i - j;//因为是返回索引啊,减去一个长度不过分 } else { return -1; } } }
KMP算法介绍
KMP是一个解决模式串在文本串是否出现过,如果出现过,最早出现的位置的经典算法
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法,简称为 “KMP算法”,常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置,这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表,故取这3人的姓氏命名此算法.
KMP方法算法就利用之前判断过信息,通过一个next数组,保存模式串中前后最长公共子序列的长度,每次回溯时,通过next数组找到,前面匹配过的位置,省去了大量的计算时间
参考资料:https://www.cnblogs.com/ZuoAndFutureGirl/p/9028287.html
从头到尾彻底理解KMP(2014年8月22日版)
把匹配串从1移动到2可以看到AB是一个公共前缀(后缀 ),移动了4位,而不是移动1位,避免了不必要的匹配
思路
1 先得到子串的部分匹配表
2 使用部分匹配表完成KMP匹配
对于移动位数=已匹配的字符数-公有串的最大长度我想解释一下(其实就是用已匹配的字符串减去后缀中公有的部分,不就是需要移动的位数了吗,比如上面匹配了ABCDAB,它的前串是 A AB ABC ABCD ABCDA ,后串是BDCDAB DCDAB CDAB DAB AB B,可以看到,公有子串是AB,我们移动的时候就可以把AB看成一个整体,把匹配串移到下一次AB出现的地方,如果公共子串的长度为0,那岂不是很香?直接往后移动已匹配的字符的位数)
KMP算法代码实现
如果看不懂代码可以去B站搜索KMP,听说正月点灯笼和阿三哥讲得不错,鄙人看了韩老师的两遍了,还是没懂j = next[j-1];,想哭
public class KMPAlgorithm { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"; String str2 = "ABCDABD"; //String str2 = "BBC"; int[] next = kmpNext("ABCDABD"); //[0, 1, 2, 0] System.out.println("next=" + Arrays.toString(next)); int index = kmpSearch(str1, str2, next); System.out.println("index=" + index); // 15了 } //写出我们的kmp搜索算法 /** * * @param str1 源字符串 * @param str2 子串 * @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表 * @return 如果是-1就是没有匹配到,否则返回第一个匹配的位置 */ public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) { //遍历 for(int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) { //需要处理 str1.charAt(i) != str2.charAt(j), 去调整j的大小 //KMP算法核心点, 可以验证... while( j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) { j = next[j-1]; } if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) { j++; } if(j == str2.length()) {//找到了 // j = 3 i return i - j + 1;//返回索引位置 } } return -1; } //获取到一个字符串(子串) 的部分匹配值表 public static int[] kmpNext(String dest) { //创建一个next 数组保存部分匹配值 int[] next = new int[dest.length()]; next[0] = 0; //如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0 for(int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) { //当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ,我们需要从next[j-1]获取新的j //直到我们发现 有 dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出 //这时kmp算法的核心点 while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) { j = next[j-1]; } //当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时,部分匹配值就是+1 if(dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) { j++; } next[i] = j; } return next; } }
贪心算法介绍
贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时,在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择,从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果
贪心算法最佳应用-集合覆盖
假设存在如下表的需要付费的广播台,以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台,让所有的地区都可以接收到信号
思路分析
如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢,使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合,这被称为幂集。假设总的有n个广播台,则广播台的组合总共有2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算10个子集, 如图:
使用贪婪算法,效率高:
目前并没有算法可以快速计算得到准备的值, 使用贪婪算法,则可以得到非常接近的解,并且效率高。选择策略上,因为需要覆盖全部地区的最小集合:
遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区,但没有关系)
将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
重复第1步直到覆盖了全部的地区
贪心算法代码实现
public class GreedyAlgorithm { public static void main(String[] args) { //创建广播电台,放入到Map HashMap<String,HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>(); //将各个电台放入到broadcasts HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>(); hashSet1.add("北京"); hashSet1.add("上海"); hashSet1.add("天津"); HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>(); hashSet2.add("广州"); hashSet2.add("北京"); hashSet2.add("深圳"); HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>(); hashSet3.add("成都"); hashSet3.add("上海"); hashSet3.add("杭州"); HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>(); hashSet4.add("上海"); hashSet4.add("天津"); HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>(); hashSet5.add("杭州"); hashSet5.add("大连"); //加入到map broadcasts.put("K1", hashSet1); broadcasts.put("K2", hashSet2); broadcasts.put("K3", hashSet3); broadcasts.put("K4", hashSet4); broadcasts.put("K5", hashSet5); //allAreas 存放所有的地区 HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>(); allAreas.add("北京"); allAreas.add("上海"); allAreas.add("天津"); allAreas.add("广州"); allAreas.add("深圳"); allAreas.add("成都"); allAreas.add("杭州"); allAreas.add("大连"); //创建ArrayList, 存放选择的电台集合 ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>(); //定义一个临时的集合, 在遍历的过程中,存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集 HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>(); //定义给maxKey , 保存在一次遍历过程中,能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key //如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects String maxKey = null; while(allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区 //每进行一次while,需要 maxKey = null; //遍历 broadcasts, 取出对应key for(String key : broadcasts.keySet()) { //每进行一次for tempSet.clear(); //当前这个key能够覆盖的地区 HashSet<String> areas = broadcasts.get(key); tempSet.addAll(areas); //求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet tempSet.retainAll(allAreas); //如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量,比maxKey指向的集合地区还多 //就需要重置maxKey // tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的 if(tempSet.size() > 0 && (maxKey == null || tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())){ //这个或条件也是蛮有争议的,弹幕区普遍认为 tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())不对, //应该是tempSet.size()和上一个key与broadcast的交集,可以定义一个变量存这个数量,我也是这么认为的 maxKey = key; } } //maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selects if(maxKey != null) { selects.add(maxKey); //将maxKey指向的广播电台覆盖的地区,从 allAreas 去掉 allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey)); } } System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5] } }
贪心算法注意事项和细节
贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果
比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5,符合覆盖了全部的地区,但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区,如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件,但是并不是最优的.
Copyright © 2003-2013 www.wpsshop.cn 版权所有,并保留所有权利。