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高等代数复习：应试经验：求行列式

作者：盐析白兔 | 2024-03-18 08:17:04

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高等代数复习：应试经验：求行列式

文章目录

思路总结
模板
有用的二级结论
- 结论1
- 结论2

个人经验，仅供参考

思路总结

思路1：通过技巧将行列式的形式变好，再归纳地展开

注：

“好”的标准在于易于归纳
“技巧”的含义丰富，常用技巧包括：借助模板，套用结论，初等变换，拆分，升阶等操作
“展开”的含义既可指按某一行、某一列展开，也可指按Laplace定理的方式展开

思路2：将行列式视为多项式，尽可能提取多项式的因子

思路3：将行列式降阶

注：降阶的手段

将矩阵表达为两个矩阵之积，使用行列式乘法定理，或Cauchy-Binet公式
将矩阵分块，使用降阶公式；或先使用降阶公式，化矩阵为分块阵，再变形

模板

上（下）三角行列式

行列式的值即为对角线元素之积

Vandermonde行列式

$V_n=$

| \begin{matrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{n - 1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{2}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}$ =\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)

V_{n} = 11 ⋮ 1 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} x_{1}^{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots x_{1}^{n - 1} x_{2}^{n - 1} ⋮ x_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{i} - x_{j})

证明思路：（用初等变换进行归纳展开）
每一行减去第一行，得 $V_n=$

| \begin{matrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{n - 1} \\ 0 & x_{2} - x_{1} & x_{2}^{2} - x_{1}^{2} & \dots & x_{2}^{n - 1} - x_{1}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & x_{n} - x_{1} & x_{n}^{2} - x_{1}^{2} & \dots & x_{n}^{n - 1} - x_{1}^{n - 1} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 0&x_2-x_1&x_2^2-x_1^2&\cdots&x_2^{n-1}-x_1^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&x_n-x_1&x_n^2-x_1^2&\cdots&x_n^{n-1}-x_1^{n-1}\\ \end{vmatrix}$

V_{n} = 10 ⋮ 0 x_{1} x_{2} - x_{1} ⋮ x_{n} - x_{1} x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1}^{2} ⋮ x_{n}^{2} - x_{1}^{2} \dots \dots \dots x_{1}^{n - 1} x_{2}^{n - 1} - x_{1}^{n - 1} ⋮ x_{n}^{n - 1} - x_{1}^{n - 1}

按第一列展开，并提取每行的公因式，得

| \begin{matrix} 1 & x_{2} + x_{1} & \dots & x_{1}^{n - 2} + \dots + x_{2}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} + x_{1} & \dots & x_{n}^{n - 2} + \dots + x_{1}^{n - 2} \end{matrix} |

从最后一列开始，每一列减去其前一列的

x_1

倍
得到

| \begin{matrix} 1 & x_{2} & \dots & x_{2}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & \dots & x_{n}^{n - 2} \end{matrix} |

至此容易归纳

爪型行列式

| \begin{matrix} a_{1} & b_{2} & b_{3} & \dots & b_{n} \\ c_{2} & a_{2} & 0 & \dots & 0 \\ c_{3} & 0 & a_{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n} & 0 & 0 & \dots & a_{n} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} a_1&b_2&b_3&\cdots&b_n\\ c_2&a_2&0&\cdots&0\\ c_3&0&a_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ c_n&0&0&\cdots&a_n\\ \end{vmatrix}$ =(a_1-\sum\limits_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{a_i})a_2a_3\cdots a_n

∣ A ∣ = a_{1} c_{2} c_{3} ⋮ c_{n} b_{2} a_{2} 0 ⋮ 0 b_{3} 0 a_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots b_{n} 00 ⋮ a_{n} = (a_{1} - i = 2 \sum n \frac{b _{i} c _{i}}{a _{i}}) a_{2} a_{3} \dots a_{n}

证明思路：（用初等变换进行归纳展开）
将第 $i$ 列乘以 $-\frac{c_i}{a_i}$ 倍加到第一列上，得

| \begin{matrix} a_{1} - \sum_{i = 2}^{n} \frac{b_{i} c_{i}}{a_{i}} & b_{2} & b_{3} & \dots & b_{n} \\ 0 & a_{2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} a_1-\sum\limits_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{a_i}&b_2&b_3&\cdots&b_n\\ 0&a_2&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n\\ \end{vmatrix}$

∣ A ∣ = a_{1} - i = 2 \sum n \frac{b _{i} c _{i}}{a _{i}} 00 ⋮ 0 b_{2} a_{2} 0 ⋮ 0 b_{3} 0 a_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots b_{n} 00 ⋮ a_{n}

除对角线外各行均相等的行列式

\begin{aligned} | A | & = | \begin{matrix} a_{1} - x_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} - x_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} - x_{3} & \dots & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} - x_{n} \end{matrix} | \\ = (- 1)^{n - 1} x_{1} x_{2} \dots x_{n} (\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{x_{i}} - 1) \end{aligned}

$\begin{split}|A|&=\begin{vmatrix} a_1-x_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1&a_2-x_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1&a_2&a_3-x_3&\cdots&a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n-x_n\\ \end{vmatrix}\\ &=(-1)^{n-1}x_1x_2\cdots x_n(\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{x_i}-1) \end{split}$

∣ A ∣ = a_{1} - x_{1} a_{1} a_{1} ⋮ a_{1} a_{2} a_{2} - x_{2} a_{2} ⋮ a_{2} a_{3} a_{3} a_{3} - x_{3} ⋮ a_{3} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n} a_{n} ⋮ a_{n} - x_{n} = (- 1)^{n - 1} x_{1} x_{2} \dots x_{n} (i = 1 \sum n \frac{a _{i}}{x _{i}} - 1)

证明思路：（转化为爪型行列式）
将第一列的 $- 1$ 倍加到其余各列，得

| \begin{matrix} a_{1} - x_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \\ x_{1} & - x_{2} & 0 & \dots & 0 \\ x_{1} & 0 & - x_{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1} & 0 & 0 & \dots & - x_{n} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} a_1-x_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ x_1&-x_2&0&\cdots&0\\ x_1&0&-x_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1&0&0&\cdots&-x_n\\ \end{vmatrix}$

∣ A ∣ = a_{1} - x_{1} x_{1} x_{1} ⋮ x_{1} a_{2} - x_{2} 0 ⋮ 0 a_{3} 0 - x_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots a_{n} 00 ⋮ - x_{n}

三对角行列式

\begin{aligned} | D_{n} | & = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & a_{3} & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & a_{n - 1} & b_{n - 1} \\ c_{n - 1} & a_{n} \end{matrix} | \\ = a_{n} D_{n - 1} - b_{n - 1} c_{n - 1} D_{n - 2} \end{aligned}

$\begin{split}|D_n|&=\begin{vmatrix} a_1&b_1&&&&\\ c_1&a_2&b_2&&&\\ &c_2&a_3&\ddots&&\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&a_{n-1}&b_{n-1}\\ &&&&c_{n-1}&a_n\\ \end{vmatrix}\\ &=a_nD_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}D_{n-2} \end{split}$

∣ D_{n} ∣ = a_{1} c_{1} b_{1} a_{2} c_{2} b_{2} a_{3} ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a_{n - 1} c_{n - 1} b_{n - 1} a_{n} = a_{n} D_{n - 1} - b_{n - 1} c_{n - 1} D_{n - 2}

证明：只需按最后一列或最后一行展开

有用的二级结论

结论1

设 $D_n=$

| \begin{matrix} a & b \\ c & a & b \\ c & a & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & a & b \\ c & a \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} a&b&&&&\\ c&a&b&&&\\ &c&a&\ddots&&\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&a&b\\ &&&&c&a\\ \end{vmatrix}$

D_{n} = a c b a c b a ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a c b a

$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}$
令

{\begin{cases} α + β = a \\ α \cdot β = b \cdot c \end{cases}

$\begin{cases} \alpha+\beta=a\\ \alpha\cdot\beta=b\cdot c\\ \end{cases}$

{α + β = a α \cdot β = b \cdot c

若

\alpha\neq\beta(a^2\neq 4bc)

，则

D_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}

若

\alpha=\beta(a^2= 4bc)

，则

D_n=(n+1)(\frac{a}{2})^n

结论2

设参数t

| \begin{matrix} a_{11} + t & a_{12} + t & \dots & a_{1 n} + t \\ a_{21} + t & a_{22} + t & \dots & a_{2 n} + t \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} + t & a_{n 2} + t & \dots & a_{n n} + t \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} a_{11}+t&a_{12}+t&\cdots&a_{1n}+t\\ a_{21}+t&a_{22}+t&\cdots&a_{2n}+t\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}+t&a_{n2}+t&\cdots&a_{nn}+t\\ \end{vmatrix}$

∣ A (t) ∣ = a_{11} + t a_{21} + t ⋮ a_{n 1} + t a_{12} + t a_{22} + t ⋮ a_{n 2} + t \dots \dots \dots a_{1 n} + t a_{2 n} + t ⋮ a_{nn} + t

则

|A(t)|=|A(0)|+t\sum\limits_{i.j=1}^nA_{ij}

参考书：《高等代数学》谢启鸿姚慕生吴泉水著

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