损失次数模型-负二项分布_负二项分布的概率密度函数

损失次数模型-负二项分布

——非寿险精算的基本理论

1、定义

一个成功概率为$p$的伯努利试验，不断重复，直至失败$r$次。此时成功的次数为一个随机变量，用$X$表示。称$X$服从负二项分布，记作$X\sim NB(r,p)$。

2、概率密度函数

$P(X=k)=C_{k+r-1}^k{p}^k(1-p{)}^r$

这里涉及到高中的排列组合知识，忘记的的同学可能要去复习一下了，哈哈哈~

• 公式释义：

$r$：一次实验中，失败次数；

$k$：一次实验中，失败$r$次时，成功的次数；

$k+r-1$：$k+r$是一次实验中总的实验次数，成功的次数加上失败的次数。因为目标失败次数为$r$次，当失败次数达到目标失败次数时，则停止实验，因此最后一次实验一定是失败的，是一个确定事件。所以随机事件只有$k+r-1$次；

$p$：一次实验成功的概率；

$1-p$：一次实验失败的概率；

$P(X=k)$：一次实验中，失败次数为$r$，成功次数为$k$时的概率；

• 例子

在一组抛硬币实验中，每次硬币正面向上的概率为$p=0.5$，则反面向上的概率为$(1-p)$，当反面向上的次数为$r=5$时停止实验，则在这组实验中正面次数出现$k=5$次的概率是多少？

<直接带入公式求解>

$P(X=5)=C_{5+5-1}^{5}0.5^5(1-0.5{)}^5=0.1230$

补充一个公式：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

<公式理解>

上面的案例可以转化一下，在10次抛硬币实验中，反面向上的次数为5次，并且最后一次为反面向上。则，这一事件发生的概率是多少？

首先，5次反面向上的概率为$(1-p{)}^5$，剩余5次正面向上的概率为$p^5$。

其次，5次反面向上有4次发生的顺序是随机的，可能在第1，2，3，4次抛硬币时就出现了反面，在第10次才出现第五次反面，也可能在第6，7，8，9，10次抛硬币时出现了反面。但，第10次抛硬币时一定出现的是反面。所以，前四次反面出现的时机，有可能是第1至9次抛硬币实验中的任意4次。反面是前9次出现4次，则正面就是前9次出现5次，这种组合方式共有$C_9^5$种。每一种的概率都为$p^5(1-p{)}^5$，所以$C_9^5$种组合的概率就为$C_9^5{p}^5(1-p{)}^5$。

3、均值和方差

$$E(X)=\frac{rp}{1-p}$$

$$D(X)=\frac{rp}{(1-p{)}^2}$$

3.1、均值$E(X)$的推导

$E(X)=\sum xp(x)$

这个公式在前面介绍泊松分布的时候提及了一下，但并没有展开说明，有兴趣的可以再去回顾一下概率论知识。

$=\sum x{C}_{x+r-1}^x{p}^x(1-p{)}^r$

把$P(X)=C_{x+r-1}^x{p}^x(1-p{)}^r$带入上式便可得到，上述公式

$=\sum x\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}{p}^x(1-p{)}^r$

这是因为$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，所以$C_{x+r-1}^x=\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}$

然后，$x!=x(x-1)!$，$(r-1)!=\frac{r(r-1)!}{r}$，$p^x=p{p}^{x-1}$，$(1-p{)}^r=\frac{(1-p{)}^{r+1}}{1-p}$，带入上式

$=\sum x\frac{(x+r-1)!}{x(x-1)!\frac{r(r-1)!}{r}}p{p}^{x-1}\frac{(1-p{)}^{r+1}}{1-p}$

将$p和\frac{1}{1-p}$提到$\sum$前面，$x$和$x$约掉，并且$\frac{(x+r-1)!}{x(x-1)!\frac{r(r-1)!}{r}}$分子分母同时乘以$r$，得到

$=\frac{p}{1-p}\sum \frac{(x+r-1)!r}{(x-1)!\frac{r(r-1)!}{r}r}{p}^{x-1}(1-p{)}^{r+1}$

将$\frac{(x+r-1)!r}{(x-1)!\frac{r(r-1)!}{r}r}$分子的$r$提到$\sum$前面，分母中的$r$约掉，得到

$=\frac{rp}{1-p}\sum \frac{(x+r-1)!}{(x-1)!r(r-1)!}{p}^{x-1}(1-p{)}^{r+1}$

因$r(r-1)!=r!=((r+1)-1)!，(x+r-1)!=((x-1)+(r+1)-1)!$，所以上式可写成

$=\frac{rp}{1-p}\sum \frac{((x-1)+(r+1)-1)!}{(x-1)!((r+1)-1)!}{p}^{x-1}(1-p{)}^{r+1}$

另，$x-1=m,r+1=n$，则上式变为

$=\frac{rp}{1-p}\sum \frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}{p}^m(1-p{)}^n$

$\sum \frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}{p}^m(1-p{)}^n$，这个公式是不是和$p(x)=\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}{p}^x(1-p{)}^r$一摸一样，因此它是一个负二项分布。在所有情况下，所有事件的概率和为1，既$\sum p(x)=1$，所以$\sum \frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}{p}^m(1-p{)}^n=1$

$=\frac{rp}{1-p}$

3.2、方差$D(X)$的推导

根据之前泊松分布里面的文章，我们知道$D(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$，现在$E(X)$已经求出，因此只需推导$E(X^2)$即可。

$E(X^2)=\sum x^{2}p(x)$

这个公式我也曾在泊松分布这篇文章里面提到过，有兴趣的可以去查看。

把$p(x)=\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}{p}^x(1-p{)}^r$带入上式

$=\sum x^2\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}{p}^x(1-p{)}^r$

把$p^x=p{p}^{x-1},(1-p{)}^r=\frac{(1-p{)}^{r+1}}{1-p},\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}分子和分母同时乘以r，$带入上式

$=\sum x^2\frac{r(x+r-1)!}{x!r(r-1)!}p{p}^{x-1}\frac{(1-p{)}^{r+1}}{1-p}$

把$r,p,\frac{1}{1-p}$提到$\sum$前面得

$=\frac{rp}{1-p}\sum x^2\frac{(x+r-1)!}{x!r(r-1)!}{p}^{x-1}(1-p{)}^{r+1}$

因$x^2=xx,x!=x(x-1)!,r(r-1)!=r!$所以

$=\frac{rp}{1-p}\sum xx\frac{(x+r-1)!}{x(x-1)!r!}{p}^{x-1}(1-p{)}^{r+1}$

因$x$分子和分母可以约掉，所以

$=\frac{rp}{1-p}\sum x\frac{(x+r-1)!}{(x-1)!r!}{p}^{x-1}(1-p{)}^{r+1}$

令$y=x-1,n=r+1$则

$=\frac{rp}{1-p}\sum (y+1)\frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n$

把$\sum (y+1)\frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n$拆开

$=\frac{rp}{1-p}(\sum y\frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n+\sum \frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n)$

$\sum y\frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n$这个形式是不是和我们上面提到的$E(X)=\sum x\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}{p}^x(1-p{)}^r=\frac{rp}{1-p}$一模一样。所以，$\sum y\frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n=E(y)=\frac{np}{1-p}$，又因为$n=r+1$，所以，$E(y)=\frac{np}{1-p}=\frac{(r+1)p}{1-p}$。再看$\sum \frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n)$是不是和$\sum p(x)=\sum \frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}{p}^x(1-p{)}^r=1$一模一样，所以，$\sum \frac{(y+n-1)!}{y!(n-1)!}{p}^y(1-p{)}^n)=1$，带入上式

$=\frac{rp}{1-p}(\frac{(r+1)p}{1-p}+1)$

$=\frac{r^2{p}^2+rp}{(1-p{)}^2}$

经过上面的层层推导，我们终于把$E(X^2)=\frac{r^2{p}^2+rp}{(1-p{)}^2}$推导出来了，再根据$E(X)=\frac{rp}{1-p}$，便可以求出$D(X)$的值

$D(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$

$=\frac{r^2{p}^2+rp}{(1-p{)}^2}-(\frac{rp}{1-p}{)}^2$

$=\frac{rp}{(1-p{)}^2}$

4、负二项分布在精算中的应用

4.1、定义

假设损失次数$N$服从参数为$r和\beta$的负二项分布，则发生$k$次损失的概率为
$$P(N=k)=C_{k+r-1}^k(\frac{\beta }{1+\beta }{)}^k(\frac{1}{1+\beta }{)}^r$$

连接上文，这里的$\beta =\frac{p}{1-p}$

负二项分布的均值和方差为：

$E(N)=r\beta$

$D(N)=r\beta (1+\beta )$

将$\beta$替换为$p$之后，我们可以发现和上面推导的结果是一样的。

4.2、性质

（1）方差大于均值。在实际运用中如果方差大于均值，负二项分布比泊松分布可以更好的拟合数据。

（2）负二项分布是一种混合泊松分布，即如果假设泊松分布的参数服从伽马分布，由此得到的混合泊松分布即为负二项分布。
针对这个性质的证明，到时在学完伽马分布的时候再看吧。

5、软件实操

5.1、相同的$p$，不同的$r$

画图代码

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def nbpmf(sample,r,p):
    '''
    Parameters
    ----------
    sample : int
        负二项分布的样本数量.
    r : int
        贝努力实验中的失败次数.
    p : float
        贝努力实验中的成功的概率.

    Returns
    -------
    k_sample : int
        样本数量.
    probability : TYPE
        概率.
    '''
    
    sample=sample
    r=r
    p=p
    k_sample=np.arange(sample)#会返回一个0至sample-1的连续整数列表
    probability=[]
    for k in k_sample:
        temp = (math.factorial(k+r-1)/(math.factorial(k)*math.factorial(r-1)))*p**k*(1-p)**r#计算负二项分布的概率
        #math.factorial()是阶乘函数
        probability.append(temp)
    return k_sample,probability

r=5#可以跟换不同的r值查看概率图像
p=0.6
sample=40
k,probability=nbpmf(sample,r,p)#调用自定义的负二项分布函数
plt.subplot(1,1,1)#定义图片的布局，针对一张图片来说可以省略该代码
plt.plot(k,probability,"r",label="r="+str(r))#画曲线图，并定义曲线为红色"r"，并显示图例label（后面是图例名称）
plt.plot(k,probability,"ro")#画散点图，并定义散点为红色
plt.title("Negative Binomial distribution(p="+str(p)+")")#设置图片标题
plt.xlabel("Number of successes (k)")#设置图片x轴说明
plt.ylabel("probability")#设置图片y轴说明
plt.legend(loc=0)#将图例放在合适的位置，让系统自动查找
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输出结果

从图片可以看出，当成功的概率$p$一定时，随着失败次数$r$的增大，函数图像逐渐向左偏移，峰值逐渐变小，图像由细高变得宽矮。

5.2、相同的$r$，不同的$p$

代码与上面相同，只是保持$r$不变，而修改了$p$值和图像标头

输出结果

从图片可以看出，其变化形态和5.1、相同的$p$，不同的$r$。 是一样的。只是变化幅度有些许不同。

5.3、负二项分布与正态分布

画图代码

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def nbpmf(sample,r,p):
    '''
    Parameters
    ----------
    sample : int
        负二项分布的样本数量.
    r : int
        贝努力实验中的失败次数.
    p : float
        贝努力实验中的成功的概率.

    Returns
    -------
    k_sample : int
        样本数量.
    probability : TYPE
        概率.
    '''
    
    sample=sample
    r=r
    p=p
    k_sample=np.arange(sample)#会返回一个0至sample-1的连续整数列表
    probability=[]
    for k in k_sample:
        temp = (math.factorial(k+r-1)/(math.factorial(k)*math.factorial(r-1)))*p**k*(1-p)**r#计算负二项分布的概率
        #math.factorial()是阶乘函数
        probability.append(temp)
    return k_sample,probability

def normalpdf(mu,sigma,simple):
    """
    Parameters
    ----------
    mu : float
        正态分布的均值.
    sigma : float
        正态分布标准差.
    simple : int
        生成的样本数量.

    Returns
    -------
    x : float
        x轴值.
    probability : float
        取值为x轴值时，对应的概率密度函数值，相当于离散变量的概率.
    """
    mu = mu
    sigma = sigma
    simple = simple
    x = np.arange(sample)
    probability=np.exp(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))/(math.sqrt(2*math.pi)*sigma)#正态分布的概率密度函数
    return x,probability

r=90#通过更改r值便可以画出不同参数的图像
p=0.5
plt.subplot(1,1,1)
mean = r*p/(1-p)#负二项分布的均值
sigam = math.sqrt(r*p/((1-p)**2))#负二项分布的标准差
sample=mean*2
k,probability_nb=nbpmf(sample,r,p)
k,probability_no=normalpdf(mean,sigam,sample)
plt.plot(k,probability_no,"r",label="normal")
plt.plot(k,probability_nb,"g--",label="n_binomial")
plt.title("Negative Binomial and Normal distribution" + "(r,p="+str(r)+","+str(p)+")")#设置图片标题
plt.xlabel("Number of successes (k)")#设置图片x轴说明
plt.ylabel("probability")#设置图片y轴说明
plt.legend(loc=0)#将图例放在合适的位置，让系统自动查找
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输出结果

通过图片可以看出，在$p$值不变的情况下，随着失败次数$r$的逐渐变大，负二项分布逐渐趋近正态分布。所以在大样本情况下，可以用正态分布近似负二项分布。

—End—

*** 参考资料 ***

1、《非寿险精算学》孟生旺著

2、负二项分布_虚胖一场的博客-CSDN博客_负二项分布

3、概率质量函数(PMF)、概率密度函数(PDF)、累积分布函数(CDF)_Uncertainty!!的博客-CSDN博客_概率质量函数

4、排列组合cn和an公式_xxxx追风的博客-CSDN博客_排列组合

5、负二项分布的数学期望和方差的一种求法 - 百度文库 (baidu.com)

6、Python中如何求阶乘？教你四个方法-群英 (qycn.com)